阶微分方程的求解.ppt

取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据前向欧拉法又有：【思路】用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的一般形式，根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所给步长进行迭代求解。例1.应用前向欧拉法解初值问题微分方程是一阶线性微分方程，

可求出其通解：则方程的解为：从而有：带入初值可得一阶非齐次线性微分方程计算结果列表（为前向欧拉法计算近似值，

为精确值）n01.000011.10.2718281830.3459198760.07401969321.20.6847555780.8666425360.18188695831.31.2769783441.6072150790.33023673541.42.0935476882.6203595520.52681186451.53.1874451223.9676662950.78022117361.64.6208178465.7209615271.10014368171.76.4663963787.9638734791.497477101正01当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不02是很高。步长取定后，步数越多，误差越03大。分析：二、后向欧拉法其近似值：对于给定初始条件用一阶差商近似代替在一个步长终点的一阶导数，则原微分方程化为：的微分方程21在任一步长内，用一段直线代替函数的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长终点的斜率。近似值精确值3后向欧拉法的几何意义：注：后向欧拉法的两种处理方式前向Euler法为显式，后向Euler法为隐式——须解出yk+1.可用迭代法yk+1(n+1)=yk+hf(tk+1，yk+1(n))n=0，1，2，…解得yk+1，其中yk+1(0)=yk+hf(tk，yk).（结合前向欧拉法，预报）又01解：据后向欧拉法取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较02例2.应用后向欧拉法解初值问题计算结果列表（为后向欧拉法计算近似值，

为精确值）n01.000011.10.4442827750.345919876-0.09836289921.21.1068555350.866642536-0.24021299931.32.0409606121.607215079-0.43374553341.43.3084097732.620359552-0.68805022151.54.9809113233.967666295-1.01324502861.67.1415858565.720961527-1.42062432971.79.8866975397.963873479-1.922824060负用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的一阶导数的平均值01梯形公式（欧拉中点公式）02近似值：03改进欧拉法04三.梯形法及其预估-矫正法显然，梯形公式是隐式法，一般求需要解方程，常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：然后将替代梯形公式等式右边出现的当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好的近似，则迭代一、二次即可预报校正迭代次数一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3一阶微分方程的求解3.3*在自然科学的许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。然而，我们知道，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。在常微分方程课中已经讲过的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。这些方法可以给出解的近似表达式，通常称为近似解析方法。还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离