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几何均值的比值和90%置信区间

几何均值（geometricmean）是一种用来描述一组正数的中心趋势的统计指标。对于一组数据x1,x2,...,xn，它们的几何均值定义为它们的乘积的n次根，即：

GM=(x1*x2*...*xn)^(1/n)

几何均值具有以下特点：

1.对于正数数据，几何均值不会受到数据的尺度影响。即使数据的单位不同，几何均值仍然可以反映数据之间的比较关系。

2.几何均值对于受极端值影响较大的数据具有一定的稳定性。因为几何均值是通过对数变换后的算数均值来计算的，对数函数能够对极端值进行一定的压缩，从而减小其对结果的影响。

3.对于符合正态分布的数据，几何均值与算术均值相等。但对于偏态分布的数据，几何均值会低估数据的中心趋势。

几何均值的计算方法如下：

1.将数据依次取对数得到ln(x1),ln(x2),...,ln(xn)。

2.计算这些对数的算数均值，即(ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn))/n。

3.将算数均值再取指数，即exp((ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn))/n)。

几何均值与算术均值的关系可以通过一个例子来说明。假设有一组数据为1、2、4、8，其算术均值为(1+2+4+8)/4=3.75，而几何均值为(1*2*4*8)^(1/4)=2.828。可以看到，几何均值是乘积的四次根，而算术均值是所有数据的累加和的均值。

在实际应用中，几何均值常用于计算一组数据的平均增长率、计算金融资产的平均回报率等。此外，几何均值还常用于计算指数的平均增长率，因为指数是由一系列乘积组成的。

接下来我们将讨论几何均值的比值和90%置信区间。几何均值的比值是指将一组数据的几何均值进行比较的指标。对于两组数据x1,x2,...,xn和y1,y2,...,yn，它们的几何均值比值定义为：

GM_Ratio=GM(x1,x2,...,xn)/GM(y1,y2,...,yn)

几何均值比值可以用来比较两组数据的平均增长率或平均回报率。如果GM_Ratio大于1，表示第一组数据的平均增长率或平均回报率较高；如果GM_Ratio小于1，表示第二组数据的平均增长率或平均回报率较高。

为了对几何均值比值进行统计推断，我们可以使用置信区间的方法。置信区间是指对于一个统计参数的估计范围。在本文中我们要讨论的是几何均值比值的90%置信区间，即对几何均值比值的估计结果有90%的置信水平。

要计算几何均值比值的90%置信区间，我们可以使用自由度为n-1的t分布来进行近似。具体的计算步骤如下：

1.分别计算两组数据的几何均值GM1和GM2。

2.计算两组数据对数变换后的标准差s1和s2，即求ln(x1),ln(x2),...,ln(xn)和ln(y1),ln(y2),...,ln(yn)的标准差。

3.计算两组数据对数变换后的标准误差SE，即SE=sqrt(s1^2/n+s2^2/n)。

4.计算自由度为n-1的t分布的临界值t，使得P(Tt)=0.95，其中T是t分布的随机变量。

5.计算几何均值比值的下限和上限，即GM_Ratio-t*SE和GM_Ratio+t*SE。

以上就是计算几何均值比值的90%置信区间的步骤。需要注意的是，这个近似方法是基于对数变换后的数据进行的，所以在计算置信区间时需要对原始数据进行对数变换。

几何均值比值和90%置信区间的应用举例如下：

假设我们要比较两种投资产品的平均回报率。我们收集了这两种产品在过去一年的回报率数据，分别为产品A的回报率为1.1、1.3、1.5、1.2，产品B的回报率为1.2、1.4、1.6、1.3。现在我们想要比较这两种产品的平均回报率是否有显著差异。

首先，我们分别计算出这两种产品的几何均值。产品A的几何均值为(1.1*1.3*1.5*1.2)^(1/4)=1.236，产品B的几何均值为(1.2*1.4*1.6*1.3)^(1/4)=1.362。

接下来，我们对这些回报率进行对数变换，并计算出两组数据的标准差。将回报率取对数后，产品A的回报率变为ln(1.1)、ln(1.3)、ln(1.5)、ln(1.2)，产品B的回报率变为ln(1.2)、ln(1.4)、ln(1.6)、ln(1.3)。然后，分别计算这两组数据的标准差，得到产品A的标准差s1=0.131，产品B的标准差s2=0.172。

再来计算标准误差。假设这两种产品的回报率样本量相同，即n=4。那么，标准误差为SE=sqrt(s1^2/n+s2^2/n)=sqrt(0.131^2/4+0.172^2/4)=0