数列解答题练习2025.1.23解析.docx

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数列解答题练习2025.1.23解析

一、解答题

1．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，降次作差得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.

【详解】（1）∵，∴，∴，

又∵是公差为的等差数列，

∴，∴，

∴当时，，

∴，

整理得：，

即，

∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；

（2）

∴

2．已知数列的前n项和，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（2）利用时，，可得，再利用“累乘法”求数列的通项公式.

（2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可.

【详解】（1）当时，

所以，

.

当时，，上式亦成立.

所以.

（2）对任意恒成立，

即对任意恒成立，

记，故，

所以当时，，所以，即，

当时，，即随着n的增大，递减，

所以的最大值为，

所以，即.

3．已知数列满足，．

(1)求数列的前n项和；

(2)设的前项和为，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出的通项公式；

（2）由（1）可得，利用等比数列求和公式计算可得.

【详解】（1）因为，，所以，

又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，所以；

（2）由（1）可得，

当时，即，

所以，

所以

.

4．已知数列的前项和，且，，数列满足，，其中.

(1)求和的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）当时，求出的值，由得，两时作差可得，分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，由已知推导出数列为常数列，可求得数列的通项公式；

（2）利用分组求和法结合裂项相消法可求得的值.

【详解】（1）对任意的，，则，

所以即，

又时，，即，由，所以，

所以是等比数列，且首项，公比，则，

因为，所以，

又，所以，是各项为的常数列，则，所以.

（2）当为奇数时，，

当为偶数时，，

所以

.

5．已知正项数列的前项和为，且和满足：，

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设，记，求和的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)，.

【分析】（1）根据递推式及的关系得，结合等差数列的定义证明结论；

（2）根据（1）得，易知时，时，结合等差数列的前项和及分组求和求和.

【详解】（1）当时，，解得，

因为①，所以②，

①②得，

所以，化简得，

因为，所以，

所以以1为首项，2为公差的等差数列.

（2）由（1）知，则，令，得，

即时，时，则，

.

6．已知数列的前项和为，，.

(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式；

（2）由（1）计算，判断数列的单调性，令的最大值小于即可求解.

【详解】（1）由得，又，

所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，

∴，即

∴当时，，

又不满足上式，所以.

（2）由（1）知，

∴

∴当时，；

当时，，即

所以的最大值为，

依题意，即，解得或.

所以实数的取值范围是：