第03讲 空间向量基本定理（2个知识点+3种题型+过关检测）原卷版.docx

第03讲空间向量基本定理（2个知识点+3种题型+过关检测）

知识点1：空间向量基本定理

1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.

2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

3．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．

注意点：

(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．

(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．

(3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．

知识点2：空间向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

题型1空间向量基本定理的理解

【例题1】（2023高二上·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（????）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高二上·北京·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（????）

A． B．

C． D．.

【变式2】（多选）（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（????）

A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面

B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线

C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底

D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底

【变式3】（多选）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（????）

A． B． C． D．

题型2空间向量基本定理的应用

【例题2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在四面体中，.点在上，且，为中点，则等于（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（23-24高二上·北京房山·期末）在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（????）

??

A． B．

C． D．

【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则．

【变式3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点．

(1)用向量，，表示，；

(2)若，求实数，，的值．

题型3应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题

【例题3】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，N是的中点，设，，．

(1)用、、表示向量，并求的长；

(2)求证：平面．

【变式1】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，分别为的中点．

(1)求证：;

(2)求与所成角的余弦值

【变式2】（2023高二·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点．设．求证．

????

【变式3】（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且.

(1)求证：；

(2)求EF与CG所成角的余弦值.

??

一、单选题

1．（23-24高二下·湖南·阶段练习）平行六面体中，为的中点，设，，，用表示，则（????）

A． B．

C． D．

2．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中，为的中点，若，则（????）

A．3 B． C． D．

3．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）若为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（????）

A． B．

C． D．

4．（22-23高二下·浙江杭州·期末）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（????）

A． B．

C． D．

5．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

6．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（????）

A． B． C． D．

7．（22-23高二上·贵州黔东南·期末）直三棱柱中，若，则（????）

A． B．

C． D．

8．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（23-24高二上·全国·期中）已知是空间中三个向量，则下列说