第04讲 平面向量基本定理及坐标表示（知识解读+题型归纳+随堂测试）（解析版）.docx

第04讲平面向量基本定理及坐标表示

考点1：平面向量基本定理

定理

条件

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量

结论

对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

基底

把不共线的向量e1，e2叫做表这一平面内所有向量的一组基底

考点2：平面向量的正交分解被坐标的表示

1．平面向量的正交分解

把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．

2．平面向量的坐标表示

(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．

(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标．

(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．

(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

3．向量与坐标的关系

设eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yi，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．

考点3：平面向量的坐标运算

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：

文字描述

符号表示

加法

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)

减法

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差

a－b＝(x1－x2，y1－y2)

数乘

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

λa＝(λx1，λy1)

向量坐标公式

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)

考点4：平面向量的垂直与平行

1．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，a∥b．

两个向量共线条件的三种表示方法

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

(1)当b≠0时，a＝λb．

这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．

(2)x1y2－x2y1＝0．

这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．

(3)当x2y2≠0时，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)．

即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．

2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).

数量积

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2

两个向量垂直

a⊥b?x1x2＋y1y2＝0

注意：1.公式a·b＝|a||b|cosa，b与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cosa，b求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．

2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：

a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；

a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．

分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．

3．平面向量的模与夹角的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：

坐标表示

模

|a|2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)或|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2)

夹角

cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(a，b为非零向量)

【题型1用基底表示向量】

【典例1】如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.

??

【答案】