专题2-4 极点极线与调和点列，调和线束（高观点下的圆锥曲线拓展）（原卷版）-2024年高考数学三轮热点题型归纳与重难点突破（新高考专用） .docx

专题2-4极点极线与调和点列，调和线束（高观点拓展）

近3年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2023年全国乙卷卷，第22题,

调和线束平行截取中点

证明中点问定点

2022年新高考I卷，第21题

调和线束平行截取中点

已知中点与平行求定点

2020年全国I卷，第22题

自极三角形问题

证明直线过定点

总览

总览

题型解读

TOC\o1-3\h\z\u【题型1】极点极线 3

【题型2】调和点列模型 4

【题型3】自极三点形与a2模型 6

【题型4】斜率成等差模型 10

【题型5】调和线束，平行截中点 12

模块一

模块一

高考真题再现

（2023年全国乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

（2020全国高考Ⅰ卷20）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．答案：

模块二

模块二

高考模拟·新题速递

【题型1】极点极线

二次曲线的极点极线

（1）.二次曲线极点对应的极线为

（半代半不代）

（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程

①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为

则极线为切点弦；

②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，

则极线为切线；

③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，

分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线；

（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.

过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（）

A． B． C． D．

已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是________．

（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为．

（2024·湖南衡阳·二模）（多选）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（????）

A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点

C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为

【题型2】调和点列模型

一、调和点列的充要条件

如图，若四点构成调和点列，则有（一般前2个出现较多）

二、调和点列与极点极线的联系

如图，过极点作任意直线，与椭圆交于，与极线交点则点成调和点列，若点的极线通过另一点，则的极线也通过．一般称、互为共轭点．

（2024江南十校联考）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.

(1)求C的标准方程；

(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 答案：

【高观点-简析】显然E在T的极线上，故E点轨迹为T的极线

（安徽高考）设椭圆过点，且左焦点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足

，证明：点总在某定直线上．

已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.

??

（1）求椭圆的方程;

（2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上.答案：

【题型3】自极三点形与a2模型

如图,设P是不在圆雉曲线上的一点,过P点引两条割线依次交二次曲线于E,F,G,H四点,连接对角线EH,FG交于N,连接对边EG,FH交于M,则直线MN为点P

同理,PM为点N对应的极线,PN为点M所对应的极线.因而将△MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点,则PA,PB恰为

从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点．

2024杭州二模

已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1．

（1）求点的坐标．答案：

（2）过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点．

（ⅰ）证明：点在定直线上答案：

已知椭圆的左焦点为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线分别交椭圆于不同的两点.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 答案

深圳二模

已知椭圆经过