专题03 不等式（4个考点梳理 题型解读 提升训练）原卷版.docx

专题03不等式（4个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】不等式的性质

性质

性质内容

注意

对称性

传递性

可加性

可乘性

的符号

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

同正

【清单02】基本不等式

不等式

内容

等号成立条件

重要不等式

当且仅当“”时取“”

基本不等式

当且仅当“”时取“”

【清单03】基本不等式与最值

已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；

（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值

注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等”

【清单04】二次函数与一元二次方程、不等式的解关系

的图象

的根

有两个不相等的实数根

有两个相等的实数根

没有实数根

的解集

的解集

【考点题型一】不等式的性质成立条件

【例1】.（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（????）

A． B． C． D．

【变式1-1】.（24-25高一上·湖南长沙·期中）（多选）对于实数，下列命题为假命题的有（????）

A．若，则.B．若，则.

C．若则.D．若，则.

【变式1-2】.（23-24高一下·全国·单元测试）（多选）若，且，则下列说法正确的是（）

A． B．

C． D．

【变式1-3】.（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）（多选）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【变式1-4】.（24-25高一上·云南文山·期中）（多选）下列命题是真命题的为（????）

A．若，则

B．若，则

C．若且，则

D．若且，则

【考点题型二】应用作差法比较大小

【例2】.（24-25高一上·河南·阶段练习）若，，，则（????）

A． B． C． D．

【变式2-1】.（江西省多校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题）已知，，则ab．(填“”或“”)

【考点题型三】不等式的性质求范围

【例3】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式3-1】.（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则下列结论错误的是（????）

A． B．

C． D．

【变式3-2】.（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是.

【变式3-3】.（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）（1）已知，求的取值范围．

（2）已知，求的取值范围．

【考点题型四】基本不等式

【例4】.（22-23高一上·云南红河·期中）（多选）现有以下结论：

①函数的最小值是2；

②若且，则；

③的最小值是2；

④函数的最大值为

其中，不正确的是（????）

A．① B．② C．③ D．④

【变式4-1】.下列不等式中等号可以取到的是（????）

A． B．

C． D．

【变式4-2】.（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（????）

A．由图1和图2面积相等得 B．由可得

C．由可得 D．由可得

【变式4-3】.下列说法正确的是（????）

A．最小值为2 B．最大值为2

C．最小值为2 D．最大值为2

【变式4-4】.．已知为实数，且，则下列命题错误的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【考点题型五】基本不等式求最值

【例5】.（24-25高一上·广东东莞·开学考试）（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（???）

A．有最小值9 B．有最大值

C．有最大值 D．有最小值

【变式5-1】.（23-24高一下·广西柳州·开学考试）已知，当时，取得最小值为b，则（????）

A． B．2 C．3 D．8

【变式5-2】.（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（????）

A．20 B．12 C．16 D．25

【变式5-3】.（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知，则的最小值是（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式5-4