专题04 二次函数与一元二次方程、不等式（考点清单+知识导图+ 9个考点清单题型解读）（原卷版）.docx

清单04二次函数与一元二次方程、不等式

（9个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】四个二次的关系

判别式

二次函数(的图象

一元二次方程

()的根

有两个不相等的实数根，()

有两个相等的实数根

没有实数根

()的解集

()的解集

【清单02】一元二次不等式的解法

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；

②时，求根；

③时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

【清单03】分式不等式的解法

①移项化零：将分式不等式右边化为0：

②

③

④

⑤

【考点题型一】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数）

【解题方法】十字相乘法+分类讨论法

【例1-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数，．

(1)解关于的不等式；

【变式1-1】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数.

(1)求关于的不等式的解集；

【例1-2】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式.

【变式1-2】（2024高一·全国·专题练习）求不等式的解集．

【考点题型二】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参）

【解题方法】十字相乘法+分类讨论法

【例2-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）解关于x的不等式.

【变式2-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数．

(1)若不等式的解集为，求的表达式；

(2)解关于x的不等式．

【例2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：．

【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式.

【考点题型三】一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法）

【解题方法】法

【例3-1】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式.

【变式3-1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数与不等式的关系，在时，求解实系数一元二次不等式．

【例3-2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数.

(1)若，求函数在区间上的最大值与最小值；

(2)求不等式的解集.

【变式3-2】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数.

(1)若的解集为，求实数的值；

(2)若，求不等式的解集.

【考点题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系

【解题方法】根与系数的关系

【例4-1】（多选）（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（????）

A． B． C． D．

【变式4-1】（多选）（23-24高一上·湖北·期中）已知关于的不等式的解集为，则（????）

A．函数有最大值

B．

C．

D．的解集为

【例4-2】（23-24高三上·上海徐汇）已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为．

【变式4-2】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知不等式的解集是，求不等式的解集．

【考点题型五】解分式不等式

【解题方法】转化为一元二次不等式

【例5-1】（23-24高二上·陕西宝鸡）不等式的解集是.

【变式5-1】（23-24高一上·广东·开学考试）不等式：的解为．

【例5-2】（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式：

(1)；

(2)；

(3)．

【变式5-2】（23-24高一下·全国·课堂例题）解下列不等式：

(1)；

(2)；

(3).

【考点题型六】一元二次不等式在上恒（能）成立

【解题方法】判别法+分类讨论法

【例6-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为．

【变式6-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）二次函数的图象恒在直线的上方，则实数a的取值范围是.

【例6-2】（23-24高一上·广东珠海·期中）命题：，为真命题，则实数的取值范围为.

【变式6-2】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）关于x的不等式，其中．

(1)当时，求该不等式的解集

(2)若存在，成立，求实数a的取值范围

【考点题型七】不等式在区间上恒（能）成立

【解题方法】变量分离法

【例7-1】（2024高三·全国·专题练习）若时，不等式恒成立，则实数的最小值为.

【变式7-1】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式.

(1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；

(2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.

【例7-2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数．

(1)若，解关于的不等式；

(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．

【变式7-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设函数．已知关于的不等式的解集为

(1)求的解析式；

(2)若关于