专题4.12 第四章 数列（思维导图+知识清单）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）.docx

第四章数列（思维导图+知识清单）

【人教A版（2019）】

4.1数列的概念

【知识点1数列的概念】

1．数列的概念

数列的定义

一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一

个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.

2．数列的分类

分类标准

名称

含义

举例

按项的

个数

有穷数列

项数有限的数列

1,2,3,…,n

无穷数列

项数无限的数列

1,0,1,0,1,0,…

按项的

变化趋势

递增数列

从第2项起，每一项都大于它的前一

项的数列

3,4,5,6,…,n+2

递减数列

从第2项起，每一项都小于它的前一

项的数列

-1,-2,-3,…,-n

常数列

各项相等的数列

0,0,0,0,…

摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一

项，有些项小于它的前一项的数列

1,-2,3,-4,…

3．数列的通项公式

如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这

个数列的通项公式.

4．数列的递推公式

(1)递推公式的概念

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.

(2)对数列递推公式的理解

①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.

如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：

基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可

以用等式来表示.

5．数列表示方法及其比较

优点

缺点

通项

公式法

便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究

一些数列用通项公式表示比较困难

列表法

内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项

确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难

图象法

能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势

数列项数较多时用图象表示比较困难

递推

公式法

可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系

不容易了解数列的全貌，计算也不方便

6．数列的前n项和

数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.

如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

这个数列的前n项和公式.

=.

7．数列的通项公式的求解方法

(1)由an与Sn的关系求通项：

已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.

(2)由数列的递推关系求通项公式：

①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.

②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.

③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项.

【知识点2数列的性质】

1．数列的性质

(1)单调性

如果对所有的，都有，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有

，那么称数列{}为递减数列.

(2)周期性

如果对所有的，都有=(k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列.

(3)有界性

如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列.

2．数列周期性问题的解题策略：

解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.

3．求数列最大项与最小项的常用方法

(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.

(2)利用确定最大项，利用确定最小项.

4.2等差数列的概念

【知识点1等差数列的概念与通项公式】

1．等差数列的概念

(1)等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫

做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.

(2)对等差数列概念的理解

①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.

②由概念可知，如果-()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列.

③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，

那么这个数列不是等差数列.

④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数

列不是等差数列.

⑤对于公差d，需要强调的是