第05讲 平面向量的应用（知识解读+题型归纳+随堂测试）（解析版）.docx

第05讲平面向量的应用

考点1：向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：

（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．

（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）．

（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）．

（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．

（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．

考点2：向量在解析几何中的应用

在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．

常见解析几何问题及应对方法：

（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．

（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．

（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．

（4）夹角问题：利用公式．

考点3：向量在物理中的应用

（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．

（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．

（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．

【题型1用向量解决平面几何中的垂直问题】

【典例1】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

??

(1)求的余弦值．

(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在．

【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解；

（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．

则．

由于就是的夹角．

??

的余弦值为．

（2）设

．

．

由题得．

①当点在上时，设，

；

②当点在上时，设，

，舍去．

综上，存在．

【变式1-1】如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点

??

(1)若，求AE的长；

(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）设，由可得，即可得答案；

（2）由图可知，由向量夹角公式可得答案.

【详解】（1）由题，可得.则.

设，则.因，则.则，故AE的长为1；

（2）若E为AB的中点，则，，又.

由图可知.

【变式1-2】已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

??

(1)请用，表示向量；

(2)若，设，的夹角为，若，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；

（2）以，为基底表示出，结合已知求可证.

【详解】（1），由题意得，

所以．

（2）由题意，．

∵，，∴．

∴，

∴．

【变式1-3】如图，O为的外心，以OA，OB为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点H．

(1)若，，，试用，，表示；

(2)在（1）的条件下，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见详解

【分析】（1）由平面向量加法的平行四边形法则可得；

（2）以，，为基底分别表示向量，然后结合三角形外心性质求其数量积可证.

【详解】（1）由平面向量加法的平行四边形法则得

，

所以

（2）由（1）知

所以

又

所以

因为O为的外心，

所以

所以，

所以.

【题型2利用向量求线段间的长度关系】

【典例2】如图，在中，是边的中点，与交于点.

(1)求和的长度；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度；

（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值.

【详解】（1）是高，，在Rt中，，

所以.

是中线，，

，

（2），

.

另解：过D作交于，

是的中点，