第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）（解析版）.docx

第08讲二次函数与一元二次方程、不等式

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；

2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系

3．掌握一元二次不等式的实际应用；

4．会解一元二次不等式中的恒成立问题.

知识点1一元二次不等式

1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

2、一般形式：ax2＋bx＋c0（≥0），ax2＋bx＋c0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）．

3、一元二次不等式的解与解集

使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；

一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；

将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．

知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系

1、二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．

2、三个“二次”之间的关系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)

有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

R

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

知识点3一元二次不等式的解法

1、解一元二次不等式的一般步骤

（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；

（2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根；

①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③时，方程无解．

（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），

并画出开口向上的抛物线示意图；

（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．

口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间

2、含参一元二次不等式的讨论依据

（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；

（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；

（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．

考点一：解不含参的一元二次不等式

例1．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为（???）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】不等式，即，解得，

所以不等式的解集为.故选：A

【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）不等式的解集为（）

A．R B． C． D．

【答案】C

【解析】由，得，得，解得，

所以不等式的解集为，故选：C

【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】不等式，化为，即，解得，

所以不等式的解集为.故选：A

【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期中）下列不等式解集为R的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A，，解得，A错；

对于B，，，解集为，B对；

对于C，，解得或，C错；

对于D，，，解得或，D错.故选：B.

考点二：解含参一元二次不等式

例2.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若，则不等式的解集是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由，得，解不等式，得，

所以不等式的解集是.故选：A

【变式2-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】当时，此时解集为；

当时，此时解集为；

当时，此时解集为；故选：CD.

【变式2-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）解关于的不等式：.

【答案】答案见解析

【解析】不等式，即，

当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为；

当时，解得或，即不等式的解集为或；

当时，解得或，即不等式的解集为或；

综上可得：当时不等