专题07 高一上学期重要函数类型及其应用（解析版）.docx

专题07高一上学期重要函数类型及其应用

目录

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基本原理 1

1．复合函数的概念 1

2.复合函数的定义域 1

3．复合函数单调性 1

4.复合函数值域. 2

5.几个常用的复合函数模型 2

6.对钩函数 3

7．分式函数 3

5

题型1.复合函数的单调性 5

题型2.复合函数的奇偶性 6

题型3.复合函数的零点 7

题型4.分式函数 9

12

复合函数是高中阶段常见的构造新函数命制试题的手段，除此之外，一些由基本初等函数的四则运算构造的函数也经常出现.上面两种构造函数的方式均在必修教材第一册的例题与习题中出现，例如“双钩函数”：，“飘带函数”：等.命题人可以从定义域，值域，函数性质，图象，零点等多个角度考察学生的函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想等关键能力，是我们在学习或者教学中应该重点关注的对象.本节，先从复合函数的一般理论背景出发，弄清楚它们的基本原理，然后再系统介绍一些重要的函数构造，最后通过一些例题展示其常见的命题手法.

基本原理

1．复合函数的概念

如果是的函数，又是的函数，即，，那么关于的函数叫做函数和的复合函数，其中是中间变量，自变量为，函数值.

2.复合函数的定义域

（1）若复合函数有具体【解析】式，那便根据求定义域的基本原则来求.

（2）若复合函数以抽象形式给出，那便遵循以下原则：

①.已知的定义域为，求的定义域.方法：由求得的范围.

②.已知的定义域为，求的定义域.方法：求出的范围.

3．复合函数单调性

一般地，设函数在区间上有意义，函数在区间上有意义，且当时，.那么判断复合函数单调性有两种常用方法：同增异减法则与导数法.

3.1同增异减法则：

3.2链式法则：.

4.复合函数值域.

方法1.函数的值域可以先计算的值域，再根据的单调性求得复合函数值域.

方法2.先分析单调性再求值域.

5.几个常用的复合函数模型

（1）已知二次函数，可复合出

等常考模型.

（2）二次函数，可复合出：等常见模型.

（3）复合函数的奇偶性可以从具体【解析】式入手判断，此处需要注意的是几个常见的对数复合型函数的奇偶性：

①.都是奇函数.

②.是奇函数.

③.(且)是偶函数.

对数型奇偶性证明通常需从或来完成.

与指数有关的复合函数：假设且.

①.为奇函数

②.为奇函数

③.可转化为②或③

6.对钩函数

1对勾函数的定义：形如的函数，叫做对勾函数．

2对勾函数的图象与性质

（1）定义域

（2）值域

当时，（当且仅当，即时取等号）．[来源:

当时，（当且仅当，即时取等号）．

则：函数的值域为．

（3）奇偶性

由于双勾函数定义域关于原点对称，，则对勾函数为奇函数．

（4）单调性

函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数．

7．分式函数

1、的图像与性质.

（1）定义域：；（2）值域：；

（3）单调性：当时，递减区间为和，无递增区间；

当时，递增区间为和，无递减区间；

（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线和，对称中心为点；

（5）奇偶性：当时为奇函数；

（6）图象：如下图所示

2、分式函数（“耐克函数”）的图像与性质：

（1）定义域：；（2）值域：；

（3）奇偶性：奇函数；

（4）单调性：在区间上是增函数，

在区间上为减函数；

（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；

（6）图象：如右图所示.

3、分式函数的图像如下：

（1）(2)

(3)(4)

的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究.

题型1.复合函数的单调性

例1（1）．函数的单调递增区间为．

【分析】求出原函数的定义域，求出内函数的增区间，结合复合函数的单调性得答案．

【解析】解：由，得或．

内层函数在上为增函数，

外层函数为增函数，

函数的单调递增区间为．

故答案为：．

【点评】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是基础题．

（2）函数在，单调递增，则的取值范围是．

【分析】由复合函数的单调及对数函数的性质可得关于的不等式组，即可求解．

【解析】解：函数在，单调递增，

由复合函数的性质可得在，单调递增，且函数值为正，

所以，解得．

故答案为：．

【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．

题型2.复合函数的奇偶性

例2.已知函数，，则________．

【解析】：考察对数型复合函数的奇偶性，基础题.注意到前文6的相关结论，可得答案为-2.

例3.若函数为偶函数，则_____．

【解