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复变函数归纳知识点

序号

知识点

详细内容

1

复数及其运算

-实虚部、共轭、复平面、辐角-复数的表示：三角形式z=r(cosθ+isinθ)和指数形式z=reiθ-运算：几何意义、乘幂和开方（DeMoivre公式）

2

平面点集

-邻域、去心邻域、内点、开集、闭集、边界、区域、连通-平面曲线如何用复数表示：z(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b)-单连通区域和多连通区域的区别

3

复变函数

-极限：考虑多个方向逼近-连续：充要条件是实虚部函数都连续-求导和微分：与实变函数类似，注意z的逼近是多方向的

4

解析函数

-概念：在某一块（点）解析即指在那一块（点）处处可导，不解析的点就是奇点-C-R方程：?u/?x=?v/?y，?u/?y=??v/?x-复变函数在某点可导的充要条件：实虚部函数都在这点解析，且满足C-R方程

5

初等函数及其解析性

-指数函数：w=ez=ex(cosy+isiny)-对数函数：lnz和Lnz的解析性-双曲函数和反双曲函数-调和函数：满足?2φ/?x2+?2φ/?y2=0的二元函数φ(x,y)

6

复变函数的积分

-与实变函数的积分差别不大，但部分积分式的计算方法不同-柯西积分定理、复合闭路定理、留数积分变换等-存在条件：待积函数在积分曲线上连续（即转化到实虚部函数连续）

7

解析函数的幂函数表示

-复级数：复数列{cn}=an+ibn的收敛性、发散性-幂级数：Abel定理、比值法和根值法求收敛半径等-泰勒展开：展开条件为解析，展开方式有直接展开和间接展开-洛朗展开：在奇点处使用，包含正幂项和负幂项

8

留数及其应用

-孤立奇点：三类孤立奇点（可去奇点、极点、无穷处的孤立奇点）-留数：与洛朗级数密不可分，留数就是a?1-计算留数：三种孤立奇点的计算方法-利用留数计算实积分

9

Fourier变换与Laplace变换

-Fourier变换：积分公式、前提条件、卷积-Laplace变换：概念、前提条件（比Fourier广）