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小几何——全等
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，点G是边上任意一点，点分别是的中点．若的面积为4，则的面积为（???）
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：连接，
点是的中点，
，
点是的中点，
，
点是的中点，
，，
，
∴，
．
故选：A．
2．如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定；由，，，根据“”证明，得，，所以，可判断②正确；同理，，所以，，，则，，可判断①正确，③正确；由，，证明、、三点在同一条直线上，则，设两条平行线与之间的距离为，则，可证明，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
故②正确；
同理，
，，
，，
故①正确；
，，
、、三点在同一条直线上，
，
设两条平行线与之间的距离为，
，
，
，
，
故④正确；
在和中，
，
，
，
故③正确，
故选：D．
3．如图，在等腰中，，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①：②是等腰直角三角形；③四边形的面积随D，E的运动而变化；④面积的最小值为2；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（）
A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤
【答案】B
【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，解题技巧是作辅助线构造全等三角形，解题关键是面积最小值可转化成三角形边长的最小值．通过证明全等三角形得到角等和边等，进而等量代换出直角，即可判断①②③；证明全等后即可证明四边形为三角形面积的一半，即可判断④⑤．
【详解】解：连接，作于点H，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵F是边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①正确；
∴，
∴是等腰直角三角形，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积不随D，E的运动而变化，
故③错误；
∵于点H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是2，
故④正确；
∵，
∴当取得最小值2时，取得最大值2，
故⑤错误，
故选：B．
4．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别在线段AB、AC上，AD＝AE，BE和CD交于点N，AF⊥BE交BC于点F，FG⊥CD交AC于点M，交BE的延长线于点G．下列说法：①∠ABE＝∠FAC；②GE＝GM；③BG＝AF+FG；④C△AFM＝BE+CM；⑤S△BDN﹕S△AFC＝CE﹕AC．其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用等角的余角可得∠ABE=∠FAC，可判断①正确；由等腰Rt△ABC，可得AB=AC，可证△AEB≌△ADC（SAS）可得∠AEB=∠ADC，利用等角的余角∠ADC=∠FMC=∠AEB，根据对顶角可得∠GEM=∠AEB，∠GME=∠FMC，可得∠GEM=∠GME可判断②GE＝ME正确；过C作CH∥AB，交AF延长线于H，可得∠ACH=∠BAE，先证△ABE≌△CAH（ASA），再证△FMC≌△FHC（AAS），可判断③BG＝AF+FG正确；利用等量代换C△AFM=BE+AM≠BE+CM，可判断④C△AFM＝BE+CM不正确；由AB=AC，AD=AE，可得BD=CE，由△AEB≌△ADC（SAS），可得∠DBN=∠ECN，先证△DNB≌△ENC（AAS），可得ND=NE，S△BDN=S△NEC，，连结AN，过N作NQ⊥AE于Q，FR⊥CM于R，再证△AND≌△ANE（SSS），三证△ANE≌△CFM（ASA），可得全等三角形对应高NQ=FR，可判断⑤S△BDN﹕S△AFC＝CE﹕AC正确．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，AF⊥BE，
∴∠BAF+∠FAC=90°，∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠FAC，
故①∠ABE＝∠FAC正确；
∵等腰Rt△ABC，
∴AB=AC，
在△AEB和△ADC中，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴∠AEB=∠ADC，
∵FG⊥CD，
∴∠FMC+∠MCD=90°
∵∠DAC=
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