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多险种Ｃｏｘ风险模型的带干扰问题

提要：本文在经典风险模型的基础上建立了理赔次数服从Cox过程的带干

扰多险种风险模型，运用鞅方法得到了破产概率，并对Lundberg不等式作了推

广。

关键词：风险过程；Cox过程；破产概率；鞅；Lundberg不等式。

1、引言

经典风险模型的一个局限性就是模型只考虑经营一种险种时的情形。由于保

险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，单险种风险模

型已经不能适应时代的要求。因此，采用多险种风险模型来描述实际情况，对于

保险公司的经营及监管部门的监管更具有实际意义。

文献[1]得到了许多经典的结论，文献[2]建立了一类多险种的风险模型，文

献[3]对风险模型的带干扰问题进行了讨论，基于以上的情况，本文用带干扰的

多险种Cox风险模型来研究破产问题。

2、模型的建立

给定概率空间，以下讨论的随机过程和随机变量都是定义在此空间上。

定义1随机过程{Λ(t)，t≥0}以概率1满足：

(1)Λ(0)=0；

(2)对任意的t0为相对安全负荷，为一固定常量；{，t≥0}表示保险公司第k

类风险的理赔次数，是强度为的相互独立的Cox过程，，；

{；；}表示保险公司第k类风险的第j次理赔额，且独立同分布，其分布函

数为，均值为，；0为常数，表示扰动强度，W(t)为标准布朗运动，W(t)表示

保险公司的不确定收益。

同经典的风险模型一样,定义=P{R(t)0，对某个t＞0)为破产概率，

=inf{t｜≥R(t)0}0为破产时刻。

Cox风险模型中险种的多样化更符合实际情况，对实际更有指导价值。

3、推广的Lundberg不等式

引理1【4】如果Λ(t)是一随机测度，且假设E[Λ(t)]∞,=(；Λt(t)∞，)则

N(t)是相对应的COX过程当且仅当满足下列条件：

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(1)N(t)对有条件独立增量；

(2)N(t)-N(s)对服从均值为Λ(t)-Λ(s)的条件泊松分布，即对任意的0≤s＜t和

非负的整数k有：

（3）

下面给出模型(1)中破产概率所满足的Lundberg上界。令，，

定理1令，则是Ft-鞅，

其中，=，

由标准布朗运动的知识可知，

所以是Ft-鞅。

引理2【4】令T为有界停时，即T＜,且M是一个右连续的F-鞅(F-上鞅)，

则有，

定理2破产概率满足不等式（5）

证明取＜，则∧是有界停时，再利用引理2得：

由于当时，u+Y()，则有：

如同经典风险模型，我们通常选择最大的r作为Lundberg指数。于是我们

给出如下Lundberg指数的定义。

定义4令R=sup，则称R为带干扰多险种COX风险模型(1)的Lundberg指

数。

在经典风险模型中，得到了一个完美的Lundberg不等式。但在此模型中由

于的随机性，在实际中很难找到具体的R，所以我们试图找到R的一个近似值，

对Lundberg不等式进行以下推广。

定理4令，则

。