人教版八年级上册1最短路径问题课件.pptxVIP

1人教版八年级上册第十三章第四节13.4最短路径问题

相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题，将军问：从住所A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到营地B。到河边的什么地方饮马可使他所走的路径最短？lMNsA地B地情景引入

C抽象成ABl数学问题问题：如图，点A、B在直线l同侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC的值最小。CA地B地这是一个实际问题，能把它描述成一个数学问题吗？实际问题提出问题l

理解问题问题：如图，点A、B在直线l同侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC的值最小。lABC

分析问题你学习过哪些最短连线的知识？线段公理：两点之间，线段最短垂线段性质：垂线段最短.问题难在哪里呢？不管点C在直线上哪里，A、B、C都不可能在同一直线上，无法直接应用这两个知识解决问题。怎么办？lABC若A、B两点分别在直线l两侧，你能找到符合条件的点吗？ABAllCBAD问题：如图，A、B是直线l同侧的两点，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题。如何确定点C的位置呢？

思考：如何将点B移到直线l的另一侧？并且始终保持BC=B′C。方法：B′分析问题CB′Al作法：1.作点B关于直线l的对称点B′；2.连接AB′，与直线l相交于C点。则点C即为所求。CAlBB

lABCB′C′解决问题问题：如图，A、B是直线l同侧的两点，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题思考：怎样证明此时AC+BC最短呢？方法：在直线l任意取一点C′,比较AC′+BC′与AC+BC大小.AC′+BC′＞AC+BCAC′+B′C′＞AC+B′CAC′+B′C′＞AB′你能写出证明过程吗？进一步思考：能否“作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B，交直线l于点C′，它们作出来的点C是同一个点吗？BC=B′C,BC′=B′C′

回顾一下我们今天所学的内容，你有什么收获？在解决最短路径这一类问题时都用到了哪些方法呢？实际问题1几何问题2求两点之间连线中最短线问题.图形表示，数学化轴对称，转化问题几何问题2的解实际问题1的解轴对称，还原问题实际意义解释反思与总结

最短路径----“将军饮马”问题

在古罗马，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军骑马从城堡A出发到城堡B，途中马要到河边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是将军饮马问题。起源

如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？河

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题解决】作点A关于直线的对称点A，连接PA，则PA=PA，所以PA+PB=PA+PB

如图，在等边△ABC中，AB=6，N为AB上一点且BN=2AN，BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．

如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是________．

（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC为6倍根号2，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是____________．

（2）把在直线同侧的问题利用轴对称转化为在直线的两侧，化折线为直线。将军饮马的实质：（3）利用“两点之间，线段最短”加以解决。（1）求最短路线的问题。

变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？学以致用：

反思是进步的阶梯你的收获；你的疑惑；面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？

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