专题03 不等式（4个考点梳理 题型解读 提升训练）解析版.docx

专题03不等式（4个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】不等式的性质

性质

性质内容

注意

对称性

传递性

可加性

可乘性

的符号

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

同正

【清单02】基本不等式

不等式

内容

等号成立条件

重要不等式

当且仅当“”时取“”

基本不等式

当且仅当“”时取“”

【清单03】基本不等式与最值

已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；

（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值

注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等”

【清单04】二次函数与一元二次方程、不等式的解关系

的图象

的根

有两个不相等的实数根

有两个相等的实数根

没有实数根

的解集

的解集

【考点题型一】不等式的性质成立条件

【例1】.（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】对于A，当时，不等式不成立，错误．

对于B，当时，满足，但，错误．

对于C，因为，而，所以，则，正确．

对于D，当时，满足，不等式不成立，错误．

故选：C

【变式1-1】.（24-25高一上·湖南长沙·期中）（多选）对于实数，下列命题为假命题的有（????）

A．若，则.B．若，则.

C．若则.D．若，则.

【答案】ABD

【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题；

对于B，若，当时，满足，即B为假命题；

对于C，由可得，易知，

所以，可得C为真命题；

对于D，由可得，

所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题；

故选：ABD

【变式1-2】.（23-24高一下·全国·单元测试）（多选）若，且，则下列说法正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】因为，且，所以，

所以，即，故A正确；

因为，，所以，

其与的大小关系与有关，故B错误；

因为，所以，故C正确；

当时满足题设条件，但不成立，故D错误.

故选：AC

【变式1-3】.（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）（多选）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BCD

【详解】对于A，让，则，故A错误；

对于B，若，则首先不可能等于0，否则矛盾，

从而，所以，故B正确；

对于C，若，则，，所以，故C正确；

对于D，若，则，所以，故D正确.

故选：BCD.

【变式1-4】.（24-25高一上·云南文山·期中）（多选）下列命题是真命题的为（????）

A．若，则

B．若，则

C．若且，则

D．若且，则

【答案】BCD

【详解】对于A项，取，，，，

则，，所以，故A选项错误；

对于B选项，若，有，则，B选项正确；

对于C选项，若，则，则，

又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确；

对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确．

故选：BCD．

【考点题型二】应用作差法比较大小

【例2】.（24-25高一上·河南·阶段练习）若，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】易知，

因为，，所以，

则，即.

因为，，所以.

综上，.

故选：A

【变式2-1】.（江西省多校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题）已知，，则ab．(填“”或“”)

【答案】

【详解】，

，

因为，所以，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

【考点题型三】不等式的性质求范围

【例3】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由，得，又，

则，又由得，

故.

故选：B.

【变式3-1】.（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则下列结论错误的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】对于A，由，，得，A正确；

对于B，由，得，而，则，B错误；

对于C，由，，得，C正确；

对于D，由，得，而，则，D正确.

故选：B

【变式3-2】.（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是.

【答案】

【详解】令，则，

则，

又，

所以，

所以.

所以的取值范围是.

故答案为：

【变式3-3】.（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）（1）已知，求的取值范围．

（2）已知，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【详解】解：（1）由不等式，

①当时，此时，可得，所以；

②当时，此时，可得，

即，所以；

③当时，此时，可得，

即，所以，

又因为，可得，即，即，

所以，

综上，可得，即的取值范围为.

（2）