专题04 基本不等式求最值（5大压轴考法）解析版.docx

专题04基本不等式求最值

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲练 2

题型一、条件等式求最值 2

题型二、常数代换法 5

题型三、消参法 8

题型四、双换元法 11

题型五、二次（一次）商式的最值 12

压轴能力测评（13题） 14

一、重要不等式

，有，当且仅当时，等号成立.

二、基本不等式

如果，，则，当且仅当时，等号成立.

叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

三、与基本不等式相关的不等式

（1）当时，有，当且仅当时，等号成立.

（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立.

（3）当时，有，当且仅当时，等号成立.

四、利用基本不等式求最值

已知，，那么

（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；

（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.

五、利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.

(4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

六、常见求最值模型

模型一：，当且仅当时等号成立；

模型二：，当且仅当时等号成立；

模型三：，当且仅当时等号成立；

模型四：，当且仅当时等号

【题型一条件等式求最值】

一、单选题

1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意将条件等式变形得，进一步结合基本不等式即可得解.

【详解】由题意，所以，

所以，等号成立当且仅当，

所以.

故选：A.

2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.

【详解】因为，

所以由题意

，

因为，所以，

所以由基本不等式可得，

当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，

综上所述，的最小值为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.

二、填空题

3．（23-24高一上·云南大理·阶段练习）已知，则的最小值是.

【答案】7

【分析】由题设可得，利用基本不等式可得即可求目标式最小值，注意取值条件.

【详解】由，

又，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是7.

故答案为：7

4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为，最小值为．

【答案】

【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值.

【详解】已知实数且，

则，

，

当或时等号成立，即的最大值为1；

，当，或时等号成立，

即的最小值为.

故答案为：；.

【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值.

5．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为

【答案】

【分析】设，则利用基本不等式计算可得.

【详解】设，因为，

所以

，

令，解得或（舍去），

因此，即，当且时取等号，

故的最大值为.

故答案为：

【题型二常数代换法】

一、单选题

1．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】利用基本知识点“1”的妙用，可得答案.

【详解】由，且，易知，，则

，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：C.

2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（????）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.

【详解】由得，

于是，

又，，所以，

因此，

当且仅当，即时，等号成立.

故.

故选：B.

3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（????）

A． B． C．4 D．6

【答案】D

【分析】将分子的上乘以，得到，再利用重要不等式，化简即可.

【详解】因为，且，又，

所以，

当且仅当时取最小值，此时，

故所求为6.

故选：D.

4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（????）