专题4.1 数列的概念【九大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.1数列的概念【九大题型】

【人教A版（2019）】

TOC\o1-3\h\u

【题型1观察法求数列通项】 3

【题型2判断或写出数列中的项】 4

【题型3根据数列的递推关系式求通项或项】 6

【题型4利用an与Sn的关系求通项或项】 8

【题型5求数列的前n项和】 9

【题型6递推数列的实际应用】 10

【题型7数列的单调性的判断】 13

【题型8数列的最大（小）项】 15

【题型9数列周期性的应用】 18

【知识点1数列的概念】

1．数列的概念

数列的定义

一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一

个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.

2．数列的分类

分类标准

名称

含义

举例

按项的

个数

有穷数列

项数有限的数列

1,2,3,…,n

无穷数列

项数无限的数列

1,0,1,0,1,0,…

按项的

变化趋势

递增数列

从第2项起，每一项都大于它的前一

项的数列

3,4,5,6,…,n+2

递减数列

从第2项起，每一项都小于它的前一

项的数列

-1,-2,-3,…,-n

常数列

各项相等的数列

0,0,0,0,…

摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一

项，有些项小于它的前一项的数列

1,-2,3,-4,…

3．数列的通项公式

如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这

个数列的通项公式.

4．数列的递推公式

(1)递推公式的概念

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.

(2)对数列递推公式的理解

①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.

如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：

基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可

以用等式来表示.

5．数列表示方法及其比较

优点

缺点

通项

公式法

便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究

一些数列用通项公式表示比较困难

列表法

内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项

确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难

图象法

能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势

数列项数较多时用图象表示比较困难

递推

公式法

可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系

不容易了解数列的全貌，计算也不方便

6．数列的前n项和

数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.

如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

这个数列的前n项和公式.

=.

7．数列的通项公式的求解方法

(1)由an与Sn的关系求通项：

已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.

(2)由数列的递推关系求通项公式：

①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.

②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.

③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项.

【题型1\o观察法求数列通项\t/gzsx/zj135470/_blank观察法求数列通项】

【例1】（23-24高二下·安徽·期末）数列-2,43,-65,87,???的通项公式可以为（????）

A．-1nn

C．-1n-

【解题思路】根据题意逐一检验选项即可.

【解答过程】对于选项A：令n=1，可得-

对于选项B：代入检验均可，符合题意；

对于选项C：令n=1，可得2

对于选项D：令n=1，可得2

故选：B.

【变式1-1】（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列1,-13,

A．an=(-1)

C．an=(-1)

【解题思路】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式.

【解答过程】由题数列的前5项可改写为11

其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数，

故数列的通项公式为an

故选：D.

【变式1-2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列an的前5项依次为-1,34,-

A．an=-n

C．an=-n