专题4.6 数列的求和【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）.docx

专题4.6数列的求和【八大题型】

【人教A版（2019）】

TOC\o1-3\h\u

【题型1利用等差数列的前n项和公式求和】 2

【题型2利用等比数列的前n项和公式求和】 3

【题型3错位相减法求和】 4

【题型4裂项相消法求和】 5

【题型5倒序相加法求和】 5

【题型6分组（并项）法求和】 7

【题型7放缩裂项求和】 8

【题型8新定义、新情景下的数列求和】 9

【知识点1数列求和的几种常用方法】

1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

①等差数列的前n项和公式：

.

②等比数列的前n项和公式：

=.

2．分组求和法与并项求和法

(1)分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.

(2)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项技巧：

(1).

(2).

(3).

(4).

(5).

5．倒序相加法

如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

6．常用求和公式

(1).

(2).

(3).

(3).

【题型1利用等差数列的前n项和公式求和】

【例1】（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）已知Sn是数列an的前n项和a1=2,a2=3，数列an+an+1是公差为1的等差数列，则S40=

A．480 B．479 C．291 D．290

【变式1-1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列an，a1=-4048，其前n项和为Sn，若S20

A．0 B．20242 C．2025 D．

【变式1-2】（2024·四川达州·二模）等差数列an的前n项和为Sn,a1=8，当

(1)求Sn

(2)若bn为等比数列，b1=

【变式1-3】（2024·四川乐山·三模）已知Sn是等差数列an的前n

(1)证明：Sn

(2)设Tn为数列Snn的前n项和，若S

【题型2利用等比数列的前n项和公式求和】

【例2】（24-25高三上·湖南·开学考试）若两个等比数列an,bn的公比相等，且a1+b

A．-43 B．43 C．-47 D

【变式2-1】（23-24高二上·河北保定·期末）记Sn为等比数列an的前n项和，若a5-a3=12

A．2n+1-

C．2n-1

【变式2-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知an}是各项均为正数的等比数列，a1=2

(1)求an

(2)求数列an前n项和S

【变式2-3】（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列an中a1=1，a2=3，且满足a

(1)求b1，证明数列b

(2)求bn及数列bn的前n项和

【题型3错位相减法求和】

【例3】（23-24高二下·四川达州·期中）在数列{an}中，若a1=2，且对任意n∈N*有

A．30×231+2

C．29×230+2

【变式3-1】（23-24高二下·广东肇庆·期中）已知数列an满足a1=1，an+1=a

A．25×210+12 B．25×21 C

【变式3-2】（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知等比数列an的各项均为正数，且a

(1)求an

(2)令bn=2-log2a

【变式3-3】（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知数列3an是首项为3，公比为9的等比数列，数列bn

(1)求数列an和b

(2)求数列anbn的前n

【题型4裂项相消法求和】

【例4】（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知数列an满足an+1-ana

A．n2n+1 B．nn+2 C

【变式4-1】（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列an的前n项和Sn=n2，记数列1anan

ABC【变式4-2】（2024高二·全国·专题练习）Sn为等差数列an的前n项和．已知

(1)求an

(2)设bn=1an

【变式4-3】（2024·四川泸州·二模）已知等差数列an的前n项和为S

(1)求an

(2)数列bn满足bn=14Sn-

【题型5倒序相加法求和】

【例5】（2024·上海·模拟预测）已知fx=12x2+12x，数列a

(1)求数列an

(2)若gx=4x4x+2，令b

【变式5-