专题4.11 新情景、新定义下的必考六类数列问题（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.11新情景、新定义下的必考六类数列问题

【人教A版（2019）】

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【类型1数列中的新概念问题】 1

【类型2数列中的新运算问题】 6

【类型3数列中的新情景问题】 10

【类型4以数列和项与通项关系定义新数列】 14

【类型5数列定义新性质问题】 19

【类型6数列中的新定义问题】 25

【知识点1数列中的新概念问题】

1．数列中的新概念问题的求解策略：

通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用.

【知识点2数列的新定义、新情景问题】

1．数列的新定义、新情景问题的解题策略

(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的

要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.

(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.

2．以数列和项与通项关系定义新数列问题的解题策略

解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解.

【类型1数列中的新概念问题】

1．（24-25高二上·全国·课后作业）定义ni=1npi为n个正数p1,p2,?,pn的“倒均数”．若数列an的前n项的“倒均数”为2n+1，数列bn满足

A．17 B．19 C．163

【解题思路】由已知得出Sn=nn+12，再根据当n

【解答过程】由题可得na1+a2+a

当n=1时，a

当n≥2时，a

经验证，a1=1符合上式，故

则bn=1

故选：C.

2．（23-24高二下·江西抚州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,?.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”.记Sn为“斐波那契数列”an的前n项和，若S2023=a，

A．ba+1 B．b-1a+1

【解题思路】由题意得当n≥3时，an=an-

【解答过程】由题意得当n≥3时，an=

所以a2=a3-a1，a

所以S

=

=an+

所以S2023=a

因为当n≥3时，an=

所以an

所以an

所以b

=

=a2024a

所以b=(

所以a2024

故选：A.

3．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列an满足a1=1,a2

A．a

B．a

C．3

D．a

【解题思路】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.

【解答过程】由题意得a3=2,a4

=a2021+

an+2

又an-

所以①+②得an+2+

a

=a2022+a

故选:ABC.

4．（2024·广西南宁·一模）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推，若该数列的前n项和为Sn，若log2Sn∈Z,n∈N*，则称n,log

【解题思路】结合数列的项的规律求出该数列前kk+12项的和为Skk+12=2k+1-k-

【解答过程】若log2Sn∈Z

……

第k行为20,21,?,

该数列前1+2+3+?+k=k

令kk+12≥66，则k≥11

当1+2-k-2=0时，有k=1，此时共有

当1+2+4-k-2=0时，有k=5，此时共有

当1+2+4+8-k-2=0时，有k=13，此时共有

所以n的最小值为1+13×132+4=95，此时S

所以当n≥66时，第一次出现的“好数对”是(95,14)

故答案为：(95,14).

5．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）有无穷多个首项均为1的等比数列，记第n(n∈N*)个等比数列的第

(1)若a2(2)a

(2)若m为给定的值，且对任意n有am(n+1)=2am(

(3)若qn为等比数列，证明：a

【解题思路】（1）根据给定定义，利用等比数列的通项公式代入计算即得.

（2）根据给定定义，结合等比数列的通项公式，推理计算即得.

（3）根据给定定义，结合等比数列的通项公式，作差得am(

【解答过程】（1）依题意，a2(2)a

（2）由am(n+1)=2a

因此q100=q1?

所以存在实数λ=-98,μ=99，满足λ

（3）由qn为等比数列，得qn=q1qn

当1≤i≤

=-q1m

因此[q(n-i)(

于是i=1n[

所以am

6．（24-2