第05讲 用空间向量研究距离、夹角问题（2个知识点+3种题型+过关检测）原卷版.docx

第05讲用空间向量研究距离、夹角问题（2个知识点+3种题型+过关检测）

知识点1：用向量法求空间距离

一、点到直线的距离

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－?a·u?2).

注意点：

如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)求直线的单位方向向量．

(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．

(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．

二、点、直线、平面到平面的距离

点到平面的距离

已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).

注意点：

(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度．

(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．

(3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．

用向量法求点面距离的步骤

(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．

(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．

(3)求向量：求出相关向量的坐标(eq\o(AP,\s\up6(→))，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．

(4)求距离d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).

知识点2：用向量法求空间角

一、两异面直线所成的角

若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq\f(|u·v|,|u||v|).

注意点：

两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．

求异面直线所成角的步骤

(1)确定两条异面直线的方向向量．

(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．

(3)得出两条异面直线所成的角．

二、直线与平面所成的角

设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).

注意点：

(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．

(2)线面角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．

利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤

(1)建立空间直角坐标系．

(2)求直线的方向向量u.

(3)求平面的法向量n.

(4)设线面角为θ，则sinθ＝eq\f(|u·n|,|u||n|).

三、两个平面的夹角

若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).

注意点：

(1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题．

(2)两平面的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．

求两平面夹角的两种方法

(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．

(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\l