第06讲 倾斜角与斜率（4个知识点+1个要点+2个易错点+6种题型+过关检测）解析版.docx

第06讲倾斜角与斜率（4个知识点+1个要点+2个易错点+6种题型+过关检测）

知识点1：直线的倾斜角的定义

1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.

注意点：

(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．

(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度

知识点2：直线的斜率

1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.

2.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在．

3．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x).

注意点：

(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.

(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．

(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换．

(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0

知识点3：斜率与倾斜角的联系

设直线的倾斜角为α，斜率为k.

α的大小

0°

0°α90°

90°

90°α180°

k的范围

k＝0

k0

不存在

k0

k的增减性

随α的增大而增大

随α的增大而增大

知识点4：直线斜率的坐标公式

如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：

（1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；

（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；

（3）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。

要点：代数式y2

证明分式不等式

解决三点共线问题

解决形如y2

题型1：求直线的倾斜角

【例题1】（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据直线方程求出斜率，再由斜率求出倾斜角即可.

【详解】由得直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则且，解得.

故选：C

【变式1】（23-24高二上·四川巴中·期末）经过两点，的直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【分析】根据条件可知直线垂直轴，即可得倾斜角大小．

【详解】∵直线经过两点，，

∴直线垂直轴，故倾斜角为．

故选：C

【变式2】（23-24高二上·上海青浦·期末）若直线，则直线的倾斜角是

【答案】/

【分析】根据直线的方程即可求解.

【详解】由可得，

故直线的倾斜角为，

故答案为：

【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的倾斜角为，直线∥l，直线，则直线与的倾斜角分别是.

【答案】20°，110°

【分析】根据平行直线与垂直直线的位置关系得到倾斜角的关系，即可求解

【详解】因为∥l，所以的倾斜角为.

因为，所以的倾斜角为

故答案为：；

题型2：求直线的斜率

【例题2】（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线经过两点，则直线的斜率是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由两点的斜率公式计算.

【详解】直线经过两点，则直线的斜率.

故选：A

【变式1】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知点，则直线的斜率为（????）

A．－3 B． C． D．3

【答案】C

【分析】由斜率公式计算即可得.

【详解】由，则直线的斜率为.

故选：C.

【变式2】（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）过点和点的直线的斜率为.

【答案】

【分析】利用两点斜率公式即可得解.

【详解】因为直线过点和点，

所以直线的斜率为.

故答案为：.

【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，，求的三条边所在直线的斜率．

【答案】

【分析】利用两点斜率公式计算即可.

【详解】由已知可得所在直线的斜率为：，

所在直线的斜率为：，

所在直线的斜率为：，

故三角形三条边所在的直线斜率分别为.

题型3：直线的倾斜角和斜率的综合应用

【例题3】（23-24高二上·广东广州·期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系以及正切函数的单调性可得出直线的倾斜角的取值范围.

【详解】因为直线的斜率为，且，直线的倾斜角，则，，

因为正切函数在、上均为增函数，

当时，即，此时，；

当时，即，此时，.

因此，直线的倾斜角的取值