专题05 函数的性质（9个考点梳理 题型解读 提升训练）解析版.docx

专题05函数的性质（9个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】函数单调性的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

【清单02】定义法判断函数的单调性的步骤如下：

【清单03】函数单调性的性质

(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．

(2)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反．

(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同．

【清单04】函数的最值

前提

设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M

对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

【清单05】利用图象求函数最值的一般步骤

(1)画出函数y＝f(x)的图象；

(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；

(3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值．

【清单06】函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．

(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．

【清单07】函数的奇偶性

奇函数

偶函数

定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x

都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

图象特征

关于原点对称

关于y轴对称

【清单08】判断函数奇偶性的方法：

(1)定义法：

(2)图象法：函数是奇(偶)函数?函数图象关于原点(y轴)对称.

【清单09】函数奇偶性的常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．

【考点题型一】用函数单调性的定义证明单调性

【例1】.（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数，图象经过点，且.

(1)求的值；

(2)用定义法证明函数在区间上单调递增.

【答案】(1)(2)证明见解析

（2），且，变形判断符号可得结论.

【详解】（1）由题意得，

解得

（2）由（1）可知，

，且，

，

因为，所以，

又，所以，

所以，即，所以，

所以函数在区间上单调递增.

【变式1-1】.（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由二次函数性质可知，函数在上单调递减，A选项错误；

反比例函数定义域为，不合题意，B选项错误；

一次函数在上单调递增，C选项正确；

时，函数，在上单调递减，D选项错误.

故选：C

【变式1-2】.（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点.

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性并证明；

(3)当时，的最小值为3，求的值.

【答案】(1)

(2)在上单调递减；证明见解析

(3)1

【详解】（1）由题意知函数的图像经过点，

故，解得，

故；

（2）函数在上单调递减；

证明：设，且，

则

，

因为，故，

即，故函数在上单调递减.

（3）由（2）知在是减函数，

因此，解得或，

又，所以．

【变式1-3】.（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数.

(1)判断函数在上的单调性，并加以证明.

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析

(2)

【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下：

函数，任取，设，

则，

因为，，则，

故，即，

故函数在上单调递减；

（2）由（1）知函数在上单调递减，

故.

【考点题型二】求函数的单调区间

【例2】.（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（???）

A．函数的减区间

B．函