专题05 均值不等式中常用的八种方法（解析版）.docx

专题04均值不等式中常用的八种方法

目录

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一．基本原理 1

二．分式函数 2

3

类型1.直接利用和（积）为定求最值 3

类型2.分式函数 3

类型4.型 7

类型5.型 7

类型6.待定系数法放缩 8

类型7.消元加均值 8

类型8.换元 8

9

一．基本原理

二元基本不等式的几个变形：

（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况

（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况

（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围

（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

2.n元均值不等式

设均大于零，则记，，

，，

则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均.

二．分式函数

（1）型.

对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解.

型.

对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解.

型.

形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域.

型.

形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解.

小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：

①：换元→分离常数→反比例函数模型.

②：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型.

③：同时除以分子：→②的模型.

④：分离常数→③的模型.

共同点：让分式的分子变为常数

类型1.直接利用和（积）为定求最值

例1.求函数的最大值________

解析：，∴

，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值

类型2.分式函数

（1）型.

对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解.

型.

对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解.

型.

形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域.

型.

形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解.

小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：

①：换元→分离常数→反比例函数模型.

②：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型.

③：同时除以分子：→②的模型.

④：分离常数→③的模型.

共同点：让分式的分子变为常数

例2.求函数的值域.

解析：设.于是问题转化为求

的值域，由对勾函数当时取等号，即.

例3：设，求函数的最小值为__________.

思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为，答案：.

例4．已知，则的最小值为（????）

A．6 B．8 C．10 D．12

解析：因为，所以，

，当且仅的，即时等号成立.故选：A.

例5．若，则的最小值为（????）

A．2 B．4 C．5 D．6

解析：因为，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.故选：B

下面讨论条件极值

类型3.已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）.

这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破.

例6.已知，求的最小值__________

解析：

例7．已知，，且，则的最小值为（????）

A．8 B． C．9 D．

解析：因为，，，所以，

∴，

当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C

例8．已知正实数满足，则的最小值为（????）

A．6 B．5 C．12 D．10

解析：因为，所以，而，

，当且仅当，即时，等号成立.故选：B

例9．正实数，满足，则的最小值是（????）

A． B． C．5 D．

解析：因为正实数，满足，所以

，当且仅当，即时等号成立.

故的最小值是.故选:B.

例10．已知正实数满足.则的最小值为（????）

A．3 B．9 C．4 D．8

解析：均为正实数，

，当且仅当，即时，等号成立.故选：B

类型4.型

注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项.

例11．若实数满足：，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：因为，所以，由基本不