专题5.4 导数在研究函数中的应用【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）.docx

专题5.4导数在研究函数中的应用【八大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1函数零点（方程根）的个数问题】 1

【题型2函数零点（方程根）的参数范围问题】 2

【题型3利用导数证明不等式】 3

【题型4利用导数研究不等式恒成立问题】 4

【题型5利用导数研究存在性问题】 5

【题型6利用导数研究双变量问题】 6

【题型7导数中的新定义问题】 7

【题型8导数在实际问题中的应用】 9

【知识点1导数中的函数零点（方程根）问题】

1．导数中的函数零点（方程根）问题

利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.

2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

【题型1函数零点（方程根）的个数问题】

【例1】（23-24高二下·江西景德镇·期末）下列给出的四个函数中，零点的个数最多的是（????）

A．y=2x

C．y=ex

【变式1-1】（23-24高二下·浙江·期中）函数f(x)=

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1-2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数fx

(1)求曲线y=fx

(2)求fx

【变式1-3】（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数f(

(1)讨论fx

(2)若a=1，求曲线fx在

(3)当a0时，试讨论函数f

【题型2函数零点（方程根）的参数范围问题】

【例2】（23-24高三上·天津·期中）已知函数fx=-x2+12x

A．0,12 B．12,1 C．

【变式2-1】（2024·山西太原·二模）已知函数fx=ex+1,x≤1

A．0,8-213∪1,+

C．23,8-213

【变式2-2】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数fx=x3+2ax

(1)求a,

(2)当x∈-1,2时，方程f

【变式2-3】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数f(x)=2a

(1)当a0时，试讨论f

(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x

（i）求a的取值范围；

（ii）证明：x1

【知识点2导数中的不等式证明】

1．导数中的不等式证明

(1)一般地，要证f(x)g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．

【题型3利用导数证明不等式】

【例3】（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数fx=ex+x2

(1)求a的值；

(2)证明：fx

【变式3-1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数fx=-1

(1)求a的取值范围；

(2)证明：a-

【变式3-2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数fx

(1)若x0时fx0

(2)若0a≤1，证明：当x≥1

【变式3-3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数fx

(1)求函数fx

(2)证明：对任意的x∈0,+∞

(3)若x1,x

【知识点3导数中的恒成立、存在性问题】

1．导数中的恒成立、存在性问题

解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：

(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．

(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.

【题型4利用导数研究不等式恒成立问题】

【例4】（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知a0，设函数fx=e2x+2-a

A．0,1e B．0,1 C．0,e

【变式4-1】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）对于x∈(0,+∞)，不等式ex-lnmx

A．0m1 B．0m≤1 C．

【变式4-2】（24-25高三上·河北邢台·期中）已知函数fx=2a

(1)当0a1时，讨论

(2)若不等式fx