专题07 等差数列与等比数列（考点清单+知识导图+ 13个考点清单题型解读）（原卷版）.docx

清单07等差数列与等比数列

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】等差数列的有关概念

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．

【清单02】等差数列的通项公式

首项为,公差为的等差数列的通项公式为.

【清单03】等差数列的四种判断方法和两种证明方法

(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．

(2)等差中项法：()是等差数列．

(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）

(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）

提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法

【清单04】等差数列的性质

①

②若，则（特别的，当，有）

【清单05】等差数列的前项和公式

1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式

2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式

【清单06】等差数列前项和性质

(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为

(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列

(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则

(4)若等差数列的项数为,则

，。

(5)若等差数列的项数为,则，，，

【清单07】等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()

符号语言（或者）(为常数，，)

【清单08】等比数列的判断（证明）

1、定义：（或者）（可判断，可证明）

2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）

3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）

【清单09】等比数列常用性质

设数列是等比数列，是其前项和．

（1）

(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.

【清单10】等比数列前项和公式

若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和

【清单11】等比数列前项和的性质

公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:

(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列

(2)当是偶数时,;当是奇数时,

(3)

【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列

核心方法：定义法

【例1】（23-24高一下·上海·阶段练习）对于数列，以下命题正确的个数有（????）

①若，则为等比数列；②若，则为等比数列；③若，则为等比数列.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【变式1-1】（多选）（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列为等比数列，下列结论正确的是（????）

A．数列为等比数列 B．数列为等比数列

C．数列为等差数列 D．数列为等差数列

【答案】BCD

【变式1-2】（多选）（2024·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且，若，则（????）

A．是等比数列 B．是等比数列

C．是等差数列 D．是等差数列

【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列

核心方法：定义法

【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且.

(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；

(2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由.

【变式2-1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）在数列中，已知，且

(1)求，的值；

(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且．证明：数列为等比数列．

【考点题型三】等差（等比）数列的单调性

核心方法：作差法

【例3】（24-25高二上·北京）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（???）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分也非必要

【变式3-2】（24-25高二上·陕西西安）数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式3-3】（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是.

【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项

核心方法：

【例4】（2024·全国·模拟预测）记为数列的前项和，已知，．

(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；

(2)若，数列的最大项为，求的值．

【变式4-1】（24-25高二上·江苏