专题09 计数原理与概率统计（4考点+20题型）（原卷版）.docx

专题09计数原理与概率统计

考点一：计数原理

知识点1排列与组合

1、两种计数原理

（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。

（2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。

2、排列与排列数

（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．

（2）排列数的公式：．

特例：当时，；规定：．

（3）排列数的性质：①；②；③．

3、组合与组合数

（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．

（2）组合数的主要性质：①；②．

知识点2二项式定理

1、二项式定理

（1）二项式定理：，

（2）通项公式：，表示展开式的第项：，

（3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，

（4）两个常用的二项展开式：

①（）

②

2、二项式系数的性质

（1）二项式系数的对称性

=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．

=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．

（2）二项式系数的增减性

=1\*GB3①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

=2\*GB3②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．

【题型1两种计数原理综合】

1、利用分类加法计数原理时注意根据题目特点选择一个恰当的分类标准，分类时注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类.

2、利用分步乘法计数原理时，注意将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当各步骤都完成了，这件事才能完成.

1．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（????）

A．120 B．60 C．30 D．20

2．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．

3．（2024·浙江宁波·二模）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有两种运输方式，第3，4两个环节各有两种运输方式，第5个环节有两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有种.

4．（2024·陕西汉中·二模）继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解，天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制，某麻辣烫店内有牛肉、羊肉、鸡肉、萝卜、木耳、菠菜、豆腐、香菇等菜品，一游客打算从以上8种菜品中选择一荤两素，其中萝卜，木耳只能选一种，菠菜，豆腐只能选一种，且羊肉必须与萝卜搭配，则他选择的种类共有种．

【题型2排列组合问题】

对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。

1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；

2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；

3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；

4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；

5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列

6、间接法：正难则反、等价转化的方法

1．（2024·四川巴中·一模）从0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·辽宁·二模）甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（????）

A．120种 B．240种 C．360种 D．480种

3．（2024·河北邯郸·二模）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（??