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2025届湖南衡阳县四中高三数学第一学期期末考试卷

2025.01

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1．设集合，则（???）

A． B． C． D．

2．已知复数，则（）

A．2 B．1 C． D．

3．“”是“函数是在上的单调函数”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知平面向量满足，则向量与向量的夹角为（????）

A． B． C． D．

5．已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（????）

A．4 B． C．5 D．

6．将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（?????）种.

A． B． C． D．

7．已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（????）

A． B． C． D．

8．已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（????）

A．

B．的图象关于点对称

C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象

D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是

10．若数列满足，，设，则（???）

A．

B．

C．

D．若数列的前项和为30，则或

11．如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱上靠近点的三等分点，则下列结论正确的有（???）

??

A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为

B．若，点的运动轨迹是线段

C．若，则点在侧面内运动路径长度为

D．当点与点重合时，三棱锥的体积最大

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．若函数，则.

13．关于的不等式的解集为，则的最小值为.

14．已知椭圆的左?右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值为，则椭圆的离心率是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长.

16．（15分）已知数列满足，且，其前项和记为．

(1)求的通项公式；

(2)记数列的前项和为，求证：．

17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，

??

(1)求证：平面

(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

18．（17分）已知.

(1)若，证明：存在唯一零点；

(2)当时，讨论零点个数.

19．（17分）已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，.

（i）求证：为定值；

（ii）设直线，证明：直线过定点.

数学答案

1．【答案】C

解析：，A?B

A错误，B错误，C正确，D错误．

故选：C.

2．【答案】B

解析：，

故选：B

3．【答案】B

解析：依题意，函数是在上的单调函数，

由于在上单调递增，所以在上单调递增，

所以且，即．

时不能得到，时一定满足，

所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件．

故选：B.

4．【答案】D

解析：由，得，因为，

所以，解得，

所以，

因此，向量与向量的夹角为.

故选：D.

5．【答案】B

解析：由题意可知，则，，

点在椭圆上，则，结合，

解得，故，

设，则，

则

，

当且仅当时，取最大值，

即的最大值为，

故选：B

6．【答案】B

解析：将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6

法一：用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法；

②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立，

注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，所以由种选法，共有种选法.

而平均分组共有种方式，所以共有种选法.

法二：用直接法求解：

①甲、乙在同一组：容易发现这是不可能的；

②甲、乙不在同一组：那么1、2中