2024-2025学年北京市西城区高三上学期期末考试数学试卷含详解.docx

2025年北京市西城区高三上学期期末数学试卷本试卷共9页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知集合，，那么集合（????）

A． B． C． D．

2．设为虚数单位，，且，则（????）

A． B． C． D．

3．下列函数中，值域为且为奇函数的是（????）

A． B． C． D．

4．在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则（????）

A． B． C． D．

5．过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（????）

A． B． C． D．

6．在中，则“”是“是直角三角形”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（????）

A． B． C． D．

8．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（????）

A． B． C． D．

9．若实数满足，则（????）

A． B． C． D．

10．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（????）

A．是平行四边形，且周长为

B．是平行四边形，且周长为

C．是等腰梯形，且周长为

D．是等腰梯形，且周长为

第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11．设抛物线的准线方程为.

12．在中，若，，，则.

13．若的展开式中存在常数项，则正整数的一个取值是，且此时常数项等于.（用数字作答）

14．折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是，.

15．已知无穷数列满足.给出下列四个结论：

①存在，使得集合中有无穷多个元素；

②存在，使得集合中有有限个元素；

③对于任意的，集合中至多有一个元素；

④当时，集合.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16．如图，在三棱柱中，平面，、分别为、的中点，.

(1)求证：平面；

(2)若，求二面角的大小.

17．已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问.

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值.

条件①：；

条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为；

条件③：函数的一个零点为.

注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

18．为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课.现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下：

男生

女生

选择

不选择

选择

不选择

排球

50

50

50

30

篮球

25

75

15

65

足球

75

25

5

75

乒乓球

10

90

10

70

假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率.

(1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误.

结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿；

结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20；

(2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望；

(3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明）

19．已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.

20．已知函数，其中.

(1)当时，求曲线在点处切线的方程；

(2)当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；

(3)若函数有两个零点，且，求的取值范围.

21．已知数列为个数的一个排列，其中，且.若在集合中至少有一个元素使得，则称数列具有性质.

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