专题3.15 第三章 圆锥曲线的方程（思维导图+知识清单）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

第三章圆锥曲线的方程（思维导图+知识清单）

【人教A版（2019）】

3.1椭圆及其标准方程

【知识点1椭圆的定义】

1．椭圆的定义

(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫

作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P={,2a}.

【知识点2椭圆的标准方程】

1．椭圆的标准方程

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

椭圆在坐标

系中的位置

标准方程

焦点坐标

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的关系

2．椭圆方程的求解

(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待

定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.

②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点

在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A0,B0,A≠B)，再解答.

【知识点3椭圆的焦点三角形】

1．椭圆的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦

点三角形，如图所示.

(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③设，，则.

3.2椭圆的简单几何性质

【知识点1椭圆的范围】

1．椭圆的范围

设椭圆的标准方程为(ab0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.

(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.

(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.

【知识点2椭圆的对称性】

1．椭圆的对称性

(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(ab0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点

P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.

【知识点3椭圆的顶点、长短轴与离心率】

1．椭圆的顶点与长轴、短轴

以椭圆的标准方程(ab0)为例.

(1)顶点

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、

y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.

(2)长轴、短轴

线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.

长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.

2．椭圆的离心率

(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.

(2)离心率的范围：0e1.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接

近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.

3．求椭圆离心率或其范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:

(1)直接求出a,c，利用离心率公式求解.

(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.

(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.

3.3直线与椭圆的位置关系

【知识点1点与椭圆的位置关系】

1．点与椭圆的位置关系

(1)点与椭圆的位置关系：

(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：

点在椭圆外+1;

点在椭圆内+1;

点在椭圆上+=1.

【知识点2直线与椭圆的位置关系】

1．直线与椭圆的位置关系

(1)直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.

(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：

0直线与椭圆相交有两个公共点;

=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;

0直线与椭圆相离无公共