专题4.6 数列的求和【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.6数列的求和【八大题型】

【人教A版（2019）】

TOC\o1-3\h\u

【题型1利用等差数列的前n项和公式求和】 2

【题型2利用等比数列的前n项和公式求和】 4

【题型3错位相减法求和】 6

【题型4裂项相消法求和】 8

【题型5倒序相加法求和】 10

【题型6分组（并项）法求和】 14

【题型7放缩裂项求和】 17

【题型8新定义、新情景下的数列求和】 21

【知识点1数列求和的几种常用方法】

1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

①等差数列的前n项和公式：

.

②等比数列的前n项和公式：

=.

2．分组求和法与并项求和法

(1)分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.

(2)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项技巧：

(1).

(2).

(3).

(4).

(5).

5．倒序相加法

如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

6．常用求和公式

(1).

(2).

(3).

(3).

【题型1利用等差数列的前n项和公式求和】

【例1】（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）已知Sn是数列an的前n项和a1=2,a2=3，数列an+an+1是公差为1的等差数列，则S40=

A．480 B．479 C．291 D．290

【解题思路】令bn=an+a

【解答过程】因为Sn是数列an的前n项和

且数列an+a

令bn=an+

所以S

=10×[5+(39+4)]=480.

故选：A.

【变式1-1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列an，a1=-4048，其前n项和为Sn，若S20

A．0 B．20242 C．2025 D．

【解题思路】借助等差数列求和公式结合题意计算可得an的公差，即可得S

【解答过程】设数列an的公差为d，则S

故S20

S18

故S2020-

故选：A.

【变式1-2】（2024·四川达州·二模）等差数列an的前n项和为Sn,a1=8，当

(1)求Sn

(2)若bn为等比数列，b1=

【解题思路】（1）设出公差，由题目条件得到a1+4d

（2）计算出b1=

【解答过程】（1）设等差数列an公差为d，∵

∴a5=0

∴d=-2，

（2）由（1）得S4

b1=S

∴数列bn公比为b

∴b

【变式1-3】（2024·四川乐山·三模）已知Sn是等差数列an的前n

(1)证明：Sn

(2)设Tn为数列Snn的前n项和，若S

【解题思路】（1）设等差数列an的公差为d

（2）由（1）可知数列Snn是等差数列，由S1=2,

【解答过程】（1）证明：设等差数列an的公差为d

∵Sn=

∴S

∴S

（2）∵S

∴数列Snn的首项为2，第四项为

∴数列Snn的公差

∴T

【题型2利用等比数列的前n项和公式求和】

【例2】（24-25高三上·湖南·开学考试）若两个等比数列an,bn的公比相等，且a1+b

A．-43 B．43 C．-47 D

【解题思路】证明两等比数列的和数列仍为等比数列，再由等比数列求和公式可得.

【解答过程】因为两个等比数列an,b

则an+1+

故an+1+bn+1a

由a3+

所以数列an+bn是以

所以数列an+bn的前

故选：B.

【变式2-1】（23-24高二上·河北保定·期末）记Sn为等比数列an的前n项和，若a5-a3=12

A．2n+1-

C．2n-1

【解题思路】由题意求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案.

【解答过程】设等比数列an的公比为q

则由a5-a3=12

解得a1

故Sn

故选：B.

【变式2-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知an}是各项均为正数的等比数列，a1=2

(1)求an

(2)求数列an前n项和S

【解题思路】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式；

（2）代入等比数列前n项和公式，即可求解.

【解答过程】（1）因为数列an是各项均为正数的等比数列，a3=2

所以令数列an的公比为qq0，a3

所以2q2=4q+16

所以数列an是首项为2、公比为4的等比数列，a

（2）因为an