专题4.7 数学归纳法【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.7数学归纳法【七大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1数学归纳法的证明步骤】 2

【题型2用数学归纳法证明恒等式】 3

【题型3用数学归纳法证明不等式】 6

【题型4用数学归纳法证明几何问题】 7

【题型5用数学归纳法证明整除问题】 10

【题型6用数学归纳法证明数列问题】 12

【题型7用数学归纳法证明其他问题】 15

【知识点1数学归纳法】

1．归纳法

由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想

的一种方法.

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.

2．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；

第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.

上述证明方法称为数学归纳法.

3．数学归纳法的重要结论及适用范围

数学归纳法的重要结论

适用范围

只适用于证明与正整数有关的数学命题

【题型1数学归纳法的证明步骤】

【例1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+13n-1fn≥1,n∈N

A．1项 B．k项 C．3k项 D．2×

【解题思路】根据题意，结合n=k变到n=k+1时，左边由

【解答过程】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到3n-1

又由n=k变到n=k+1

从而左边增加了3k+1

故选：D.

【变式1-1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的n∈N*，都有1-12

A．1-12+

C．1=12+

【解题思路】根据数学归纳法的知识确定正确答案.

【解答过程】在等式1-1

当n=1时，2

故等式的左边为1-12，右边为

所以第一步应该验证的等式是1-1

故选：D.

【变式1-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：fn=1+12+13+?+12n≥n

A．1项 B．2k-1项 C．2k+1

【解题思路】分别计算出fk+1和

【解答过程】因为fn

所以fk=1+1

则fk+1=1+

所以fk+1比fk

故选：D.

【变式1-3】（23-24高三·全国·对口高考）某同学用数学归纳法证明不等式n2

（1）当n=1时，1

（2）假设当n=kk∈N*,且k≥1

∴当n=

根据（1）和（2）可知对任何n∈N*

A．全部过程均符合数学归纳法的原理

B．n=1

C．归纳假设不正确

D．从n=k到

【解题思路】根据数学归纳法的定义与证明即可判断.

【解答过程】根据数学归纳法的证明可知当n=1的验证正确，归纳假设正确，故BC

从n=k到n=k+1的推理中，并没有用到n

故选：D.

【题型2用数学归纳法证明恒等式】

【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数n,2+6+10+?+

【解题思路】应用数学归纳法证明即可.

【解答过程】当n=1时，左边=2=2×

假设n=kk

等式左边=2+6+10+?+4k

综上，?n∈N

【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：

(1)1+3+5+?+2

(2)1×4+2×7+3×10+?+n

【解题思路】（1）记Sn=1+3+5+?+2n-1=

（2）记Tn=1×4+2×7+3×10+?+n3n+1=n

【解答过程】（1）证明：记Sn

当n=1时，则有S

假设当n=kk

则Sk

这说明当n=

故对任意的n∈N+

（2）证明：设Tn

当n=1时，T

假设当n=

即Tk

所以，T

=k

这说明当n=

所以，对任意的n∈N+

【变式2-2】（23-24高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明1?n+2?n

【解题思路】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当n=1时成立，进而假设n=k

【解答过程】设f(

①当n=1时，左边=1，右边=

②设当n=k时等式成立，即

则当n=

f

=

=

=1

∴由①②可知当n∈

【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式n∈

(1)-1+3-5+?+

(2)n+1

【解题思路】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可；

（2）按照数学归纳法的步骤证明即可；

【解答过程】（1）①当n=1时，左边=-1，右边=-1

②假设当n=

即-1+3-5+?+

则当n=k

=-

即当n=

综上所述，由①②可知，对于任意正整数，-1+3-5+?+-

（2）①当n=1时，左边=1+1=2，右边=21

②假设当n=

即k+1

则当n=k

=

右边，

即当n