第08讲 直线的点斜式方程和直线的两点式方程（4个知识点+3个要点+1个易错点+6种题型+过关检测）解析版.docx

第08讲直线的点斜式方程和直线的两点式方程（4个知识点+3个要点+1个易错点+6种题型+过关检测）

知识点1：直线的点斜式方程

我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．

方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．

注意点：

(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．

(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.

知识点2：直线的斜截式方程

1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．

2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．

注意点：

(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．

(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.

知识点3：直线的两点式方程

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式．

注意点：

(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．

(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．

(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．

知识点4：直线的截距式方程

我们把方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.

注意点：

(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．

(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．

要点1：直线恒过定点问题

求直线过定点的策略

(1)将方程化为点斜式,求得定点的坐标;

(2)将方程变形,把x,y看作参数的系数,因为此式子对于任意的参数值都成立,故需系数为零,解方程组可得x,y的值,即得直线过的定点坐标.

要点2：直线的图形特征问题

求直线图象有关问题的策略

(1)将直线方程化为斜截式,找到直线的斜率和截距;

(2)通过研究直线斜率和截距的数值特征确定直线的图象特征，

要点3：灵活选用直线方程的不同形式求方程

直线方程的选择技巧

(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．

(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．

(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．

(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．

题型1：直线的点斜式方程

【例题1】（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据直线的点斜式方程形式，可直接得到结果.

【详解】过点且斜率为的直线的点斜式方程为，

故选：

【变式1】（24-25高二上·上海·课后作业）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为．

【答案】

【分析】根据直线互相垂直求直线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解.

【详解】由两直线互相垂直，可知，直线的斜率为，

所以直线的点斜式方程为.

故答案为：

【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程．

【答案】

【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合点斜式方程求解即可.

【详解】因为直线的斜率为，所以该直线倾斜角为，

所以所求直线的倾斜角为，其斜率为，

所以所求直线的点斜式方程为．

【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的点斜式方程：

(1)经过点，斜率；

(2)经过点，倾斜角为．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题中给出的点和斜率即可利用直线的点斜式方程求得答案；

（2）先根据倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程求得答案.

【详解】（1）由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为．

（2）由题意知，直线的斜率，

故所求直线的点斜式方程为．