专题5.3 函数的单调性、极值和最值【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题5.3函数的单调性、极值和最值【八大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】 2

【题型2由函数的单调性求参数】 4

【题型3函数单调性的应用】 6

【题型4利用导数求函数的极值】 9

【题型5根据极值（点）求参数】 11

【题型6利用导数求函数的最值】 14

【题型7已知函数最值求参数】 16

【题型8函数单调性、极值与最值的综合应用】 18

【知识点1函数的单调性】

1．函数单调性和导数的关系

(1)函数的单调性与导函数f(x)的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

③如果在某个区间(a,b)内恒有f(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.

(2)函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.

图象

f(x)变化规律

f(x)0

且越来越大

f(x)0

且越来越小

f(x)0

且越来越小

f(x)0

且越来越大

函数值变化规律

函数值增加

得越来越快

函数值增加

得越来越慢

函数值减小

得越来越快

函数值减小

得越来越慢

2．确定函数单调区间的步骤；

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求f(x)；

(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.

3．根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.

(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f(x)≥0(f(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】

【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数fx=lnx+ex+1x的单调增区间为（????）

A．0,1 B．0,e C．1,+∞ D

【解题思路】根据题意，求得fx=x

【解答过程】由函数fx=ln

且f

令fx0，解得x1，所以函数

故选：C.

【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数fx=ln

A．fx在区间0,

B．fx在区间0,

C．fx在区间0,π4

D．fx在区间0,π4

【解题思路】求f(x)，通过在区间0,

【解答过程】由题意cosx0

=-(tan

当x∈0,π2时，

所以fx在区间0,

故选：B.

【变式1-2】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数f(

(1)求f(

(2)判断f(x)在

【解题思路】（1）先对f(x)求导，再将x=0代入到函数可求出

（2）先对f(x)求导，当x≤0时，0e

【解答过程】（1）因为f(x)=

则f(0)=e

所以f(

（2）f

当x≤0时，0e

所以f

所以f(x)在

【变式1-3】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数fx

(1)当a=1时，求函数f

(2)当a∈R时，求f

【解题思路】（1）根据导数与单调性的关系，求出单调区间即可；

（2）对含参函数求导，从而得出导数的零点，再通过对二次函数的根的讨论，得出单调区间.

【解答过程】（1）当a=1时，fx=

f

令fx0，得x∈0,

所以fx的单调递增区间为0,12，1,+

（2）fx=x

fx=2x-2a

①当a≤0时，当x∈0,12

当x∈12,+∞

②当0a12时，当x∈0,a

当x∈a,12

③当a=12时，fx≥0对

④当a12时，当x∈0,12

当x∈12,a时，

综上所述：当a≤0时，fx在0,1

当0a12时，fx在a

当a=12时，f

当a12时，fx在12,

【题型2由函数的单调性求参数】

【例2】（2024·陕西榆林·模拟预测）若函数fx=lnx+

A．-∞,1 B．-∞,2

【解题思路】将问题转化为fx≥0在

【解答过程】fx的定义域为0,+∞，

因为函数fx

所以1x+2x-a≥0在

因为1x+2x

所以1x+2x

故选：B.

【变式2-1】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数F