线性变换习题课.ppt

习题课

基本内容

基本解题方法

例题选讲

1

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一、基本内容

设V是数域P上n维线性空间,是V的线性变

换取定的一组基因

,V1,2,,n,(1),(2),,

设

(n)V,

线性变换及其矩阵

(1)a111a212an1n,



()aaa,

2121222n2n

,

)

(na1n1a2n2annn.

2

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即

((1),(2),,(n))(1,2,,n)A

nn是在基下的矩阵

A(aij)nnP1,2,,n.

注的第列恰是向量在基

:Aj(j)1,2,,n

下的坐标.

特别,数乘变换、单位(恒等)变换、零变换在

任意基下的矩阵分别是数量矩阵、单位矩阵、零

矩阵.

但一般线性变换在不同基下的矩阵一般是不

同的(彼此相似).

2.与()的坐标关系式

设在基下的矩阵是与

1,2,,nA,()

在基下的坐标分别是和

1,2,,n(x1,x2,,xn)

则

(y1,y2,,yn),

y1x1



yx

2A2





ynxn

3.线性变换与矩阵间的对应关系

在数域P上n维线性空间V中一组取定的基下,

对于V的每一个线性变换,都有P上唯一确定的n级

矩阵与之对应,这种对应保持运算.设L(V)是V的

全体线性变换组成的线性空间,则

L(V)Pnn

维(L(V))n2,n为V的维数.

这样就可以把线性变换用矩阵来表现,于是

在处理线性变换的问题时,可以按“线性变换

矩阵线性变换”的模式,把线性变换问题化为矩

阵问题来处理,然后再把所得的结论化为线性变换

的结论.也可在处理矩阵问题时,按“矩阵线性变

换矩阵”模式.

4.相似矩阵

同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的；

反之,两个相似矩阵可以看作同一线性变换在不

同基下的矩阵.

利用相似矩阵的性质可以简化矩阵的运算.

5.特征值与特征向量

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设V是P上线性空间,是V的线性变换,若

()，(P,0)

则是的特征值,是的属于的特征向量.

矩阵A的特征多项式|EA|的根0称为A

的特征值而相应的线性方程组的

,