四点共圆(学生版).docx

PAGE

PAGE1

四点共圆

1.四点共圆的性质：

（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等：

圆内接四边形的对角互补：

（3）圆内接四边形的一个外角等于内对角

2.四点共圆的判定：

判定1：到定点的距离等于定长的点在同一个圆上

特点：共端点，等线段

例1.如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD.

求证：∠1+∠2=90°

判定2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个定点共圆.

，且点A、D在BC同侧

四点共圆

特殊的：

判定3：共底边的两个三角形顶角互补，且在底边的异侧，则四个定点共圆.

特殊的：

判定4：对于凸四边形ABCD，若一个外角等于其邻补角的内对角，则A、B、C、D四点共圆.

∵∠A=∠DCE，且∠DCE是四边形ABCD的外角

∴A、B、C、D四点共圆

例2.如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为三条高的交点，问：

（1）图中有多少组四点共圆？

（2）求证：∠ADF=∠ADE

（3）求证：垂心定理

例3.如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.

练1：如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于G，在AP的延长线上取一点E，使AG=EG，连接BE，CE

（1）求证：BE=BC；

（2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：

练2.如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE、AF.点P是EF的中点，连接CP，DP，若AE=AF，∠CPD=104°，求∠AEB的度数.

练3.求证：锐角三角形三边上三点围成的三角形周长最小时，三点恰好为三边高线的垂足(锐角三角形中垂足三角形周长最小)

练4.求证：阿基米德折弦定理

练5.求证：西姆松线定理

练6.求证：蝴蝶定理（圆内及圆外）

练7.有一组对角相等的垂美四边形必为筝形