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第4章方程组
§4.1方程组的解法
4.1.1★已知关x、y的方程组
ax+2y=\+a,®
2x+2(q-l)y=3.②
分别求出当a为何值时,方程组有唯一一组解;无解;有无穷多组解,
解析与一一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消
,归结
为一一次方程办=6的形式进行讨论,但必须特别注意,消时,若用含有字母的式子去
乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零.
由①式得
2y=(l+a)-ax,③
将③代入②得
(a—2)(a+l)x=(a—2)(a+2).④
当+1)H0,即a*2且aW—1时,
方程④有唯一解x=*,将此x值代入③有
〃+1
1
y-2(fl+l)
因而原方程组有唯一一组解.
当(a-2)(a+l)=0,且(a-2)(a+2)=0时,即a=-l时,方程④无解,因此原方程组无解.
当(a-2)(a+l)=0且(a-2)(a+l)=0时,即a=2时,方程④有无穷多个解,因此原方程组
有
无穷多组解.
评注对于二一次方程组,(4、%、瓦、加为已知数,且%与4,出与打中
[ax+by=c
222
都至少
有一^b不为零).
(1)当独力与时,方程组有唯一的解
«2t,2
广瓦C「bc
ab—%伪
{2
--
—a2cl
〃也-〃2伪
(2)当幺=久=2时,原方程组有无穷多组解.
%,2C2
(3)当幺=久*且时,原方程组无解.
abc
222
4.1.2★对葭机的哪些值,方程组1v=C+”\至少有一组解?
y=(2%-l)x+4
解析由原方程可得+机=(2左一1)%+4.即
[k-l)x=m-4.
(1)当AW1时,方程有唯一解x=I,从而原方程组有唯一解.
k-1
(2)当后-1,m=4时,方程有无穷多个解,从而原方程组也有无穷多组解.
综上所述,当无力1且根为任意数,或无=1且m=4时,方程组至少有一组解.
4.1.3★已知关于x、y的二一次方程
(a—l)x+(a+2)y+5—2“=0.
当“每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解.
解析1根据题意,可分别令。=1,。=-2代入原方程得到一个方程组:
J3y+3=O,
]-3尤+9=0.
解之得
\x=3,
[y=-L
将x=3,y=-l代入原方程得
(a-l)-3+(o+2).(-l)
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