专题03 等式性质与不等式的性质、基本不等式（考点清单+知识导图+ 9个考点清单题型解读）（原卷版）.docx

清单03等式性质与不等式的性质、基本不等式

（9个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】作差法比较大小

作差法的依据：①；②；③

步骤：

(1)作差；

(2)变形；（目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）

(3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论）

(4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论）

【清单02】不等式的性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

（等价于）

传递性

（推出）

可加性

（等价于

可乘性

注意的符号（涉及分类讨论的思想）

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

，同为正数

【清单03】重要不等式

一般地，，有，当且仅当时，等号成立.

【清单04】基本不等式链

（其中，当且仅当时，取“”号）

（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）

【考点题型一】比较两个代数式的大小

【解题方法】作差法，作商法

【例1-1】（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b为实数，比较与的值的大小.

【变式1-1】（23-24高一·上海·课堂例题）设x是实数，比较与的值的大小.

【例1-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则（填入“＞”或“＜”）．

【变式1-2】（23-24高一下·黑龙江鹤岗）设，比较与的大小

【考点题型二】基本不等式（和为定值求积的最值）

【解题方法】基本不等式

【例2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则有（????）

A．最小值0 B．最大值2

C．最大值 D．不能确定

【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值．

【例2-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知正实数a，b满足，则的最大值为．

【变式2-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，且满足，则的最大值为.

【考点题型三】基本不等式（积为定值求和的最值）

【解题方法】基本不等式

【例3-1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，的最小值为.

【变式3-1】（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（????）

A． B． C． D．

【例3-2】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式3-2】（23-24高一下·河北·期末）已知，且，则的最小值为．

【考点题型四】基本不等式（凑项（系数））

【解题方法】拼凑项，化整体，利用基本不等式

【例4-1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知，则的最小值为，此时等于.

【变式4-1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知，则的最大值为（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

【例4-2】（2023·广东·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为．

【变式4-2】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的最小值为．

【考点题型五】基本不等式（常数代换法）

【解题方法】将已知条件中的等式与目标式相乘

【例5-1】（23-24高一上·河北保定）已知为正实数且，则的最小值为（????）

A． B． C．3 D．

【变式5-1】（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为．

【例5-2】（23-24高一下·陕西西安·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为.

【变式5-2】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知，且，则的最小值是．

【考点题型六】基本不等式（消元法）

【解题方法】带入消元

【例6-1】（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（????）

A． B．

C． D．

【变式6-1】（23-24高二下·天津河东·期末）已知正数x，实数y满足，则的最小值为.

【例6-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为．

【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

【考点题型七】基本不等式（二次与二次（或一次）商式）

【解题方法】分离常数法

【例7-1】（23-24高一·江苏·课后作业）（1）若，且，求的最小值；

（2）若，求x2-

【变式7-1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数的最小值及此时的值；

（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.

【例7-2】（23-24高一上·天津和平·阶段练习）设.

（1）若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；

（2）若且，求的最大值及对应的的值.

【变