专题04 圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系（考点清单+知识导图+ 21个考点清单题型解读）（解析版）.docx

清单04圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】圆的标准方程

我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.

【清单02】点与圆的位置关系

判断点与：位置关系的方法:

几何法:设到圆心的距离为，则

①则点在外

②则点在上

③则点在内

【清单03】圆上的点到定点的最大、最小距离

设的方程，圆心，

点是上的动点，点为平面内一点；记;

①若点在外，则;

②若点在上，则;

③若点在内，则;

【清单04】圆的一般方程

对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.

①当时，方程表示以为圆心，

以为半径的圆；

②当时，方程表示一个点

③当时，方程不表示任何图形

说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.

【清单05】直线与圆的位置关系:几何法

图象

位置关系

相交

相切

相离

判定方法

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相交。

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相切。

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相离。

【清单06】直线与圆相交

记直线被圆截得的弦长为的常用方法

1、几何法（优先推荐）

①弦心距（圆心到直线的距离）

②弦长公式：

2、代数法

直线：；圆

联立消去“”得到关于“”的一元二次函数

弦长公式：

【清单07】直线与圆相切

（1）圆的切线条数

①过圆外一点，可以作圆的两条切线

②过圆上一点，可以作圆的一条切线

③过圆内一点，不能作圆的切线

（2）过一点的圆的切线方程（）

①点在圆上

步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则

步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）

②点在圆外

记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出

（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）

（3）切线长公式

记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；

切线长公式

【清单08】圆上点到直线的最大（小）距离

设圆心到直线的距离为，圆的半径为

①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

【清单09】圆与圆的公共弦

1、圆与圆的公共弦

圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.

2、公共弦所在直线的方程

设:

:

联立作差得到：即为两圆共线方程

【考点题型一】二元二次方程表示曲线与圆的关系

核心方法：当时，方程叫做圆的一般方程.

【例1】（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系

【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求.

【详解】若方程表示一个圆，则，

方程可化为，

所以，解得，且不等于0，

所以或.

故选：D

【变式1-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C．. D．

【答案】A

【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系

【分析】圆的一般式中，由得到不等式，求出a的取值范围.

【详解】表示圆，

则，解得.

故选：A

【变式1-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若方程表示圆，则（???）

A．1 B． C． D．或1

【答案】A

【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系

【分析】根据圆的一般式方程，建立方程，分别检验方程的解，可得答案.

【详解】由题意可得，化简可得，则，解得或，

当时，可得方程，

整理可得，显然不合题意；

当时，可得，整理可得，符合题意.

故选：A.

【考点题型二】求圆的方程

【例2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）过点，且与直线相切于点的圆的方程为．

【答案】

【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、过圆上一点的圆的切线方程

【分析】设圆的标准方程为，结合题意，求出过点B1,-1

垂直的直线方程及线段的垂直平分线的方程，联立可得圆心坐标，继而可求出半径，即可求解.

【详解】设圆的标准方程为，

因为圆与直线相切于点B1,-

可得过点B1,-1与直线垂直的直线方程为

又由A0,-1、B1,-

联立方程组，解得，，即圆心坐标为．

又由，即圆的半径为，

所以圆的方程为．

故答案为：.

【变式2-1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（???）

A． B．

C． D．

【答案】D

【知识点】求圆的一般方程

【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可.

【详解】设的外接圆方程为，

因为O0,0，，

所以，解得，

所以的外接圆方程为.

故选：D.

【变式2-2】（2