专题4.7 数学归纳法【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）.docx

专题4.7数学归纳法【七大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1数学归纳法的证明步骤】 2

【题型2用数学归纳法证明恒等式】 2

【题型3用数学归纳法证明不等式】 3

【题型4用数学归纳法证明几何问题】 4

【题型5用数学归纳法证明整除问题】 5

【题型6用数学归纳法证明数列问题】 6

【题型7用数学归纳法证明其他问题】 7

【知识点1数学归纳法】

1．归纳法

由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想

的一种方法.

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.

2．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；

第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.

上述证明方法称为数学归纳法.

3．数学归纳法的重要结论及适用范围

数学归纳法的重要结论

适用范围

只适用于证明与正整数有关的数学命题

【题型1数学归纳法的证明步骤】

【例1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+13n-1fn≥1,n∈N

A．1项 B．k项 C．3k项 D．2×

【变式1-1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的n∈N*，都有1-12

A．1-12+

C．1=12+

【变式1-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：fn=1+12+13+?+12n≥n

A．1项 B．2k-1项 C．2k+1

【变式1-3】（23-24高三·全国·对口高考）某同学用数学归纳法证明不等式n2

（1）当n=1时，1

（2）假设当n=kk∈N*,且k≥1

∴当n=

根据（1）和（2）可知对任何n∈N*

A．全部过程均符合数学归纳法的原理

B．n=1

C．归纳假设不正确

D．从n=k到

【题型2用数学归纳法证明恒等式】

【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数n,2+6+10+?+

【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：

(1)1+3+5+?+2

(2)1×4+2×7+3×10+?+n

【变式2-2】（23-24高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明1?n+2?n

【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式n∈

(1)-1+3-5+?+

(2)n+1

【题型3用数学归纳法证明不等式】

【例3】（2024高三·全国·专题练习）证明∶不等式32×

【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数n4,

【变式3-2】（23-24高二下·河南南阳·期末）观察下列不等式：5+3≥8，25+9≥32，125+27≥128，625+81≥512，……．

(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；

(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．

【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）证明不等式1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N

【题型4用数学归纳法证明几何问题】

【例4】（23-24高二·全国·课堂例题）在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？

【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸n边形的内角和fn

【变式4-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知n≥2，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为f

【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知nn≥2,n∈N*个半径相等的半圆的圆心在同一直线l上，这

【题型5用数学归纳法证明整除问题】

【例5】（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数n，an-bn能被

A．假设n=k（k为正整数）时命题成立，再证

B．假设n=2k（k为正整数）时命题成立，再证n=2

C．假设n=k（k为正整数）时命题成立，再证

D．假设n=2k（k为正整数）时命题成立，再证

【变式5-1】（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知fn=2n+7?3n+9,存在自然数m,使得对任意n

A．30 B．9 C．36 D．6

【变式5-2】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：n3+n+13

【变式5-3】（23-24高三·全国·对口高考）是否存在正整数m使得fn=2n+7?3

【题型6用数学