专题4.11 新情景、新定义下的必考六类数列问题（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）.docx

专题4.11新情景、新定义下的必考六类数列问题

【人教A版（2019）】

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【类型1数列中的新概念问题】 1

【类型2数列中的新运算问题】 3

【类型3数列中的新情景问题】 4

【类型4以数列和项与通项关系定义新数列】 6

【类型5数列定义新性质问题】 8

【类型6数列中的新定义问题】 9

【知识点1数列中的新概念问题】

1．数列中的新概念问题的求解策略：

通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用.

【知识点2数列的新定义、新情景问题】

1．数列的新定义、新情景问题的解题策略

(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的

要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.

(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.

2．以数列和项与通项关系定义新数列问题的解题策略

解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解.

【类型1数列中的新概念问题】

1．（24-25高二上·全国·课后作业）定义ni=1npi为n个正数p1,p2,?,pn的“倒均数”．若数列an的前n项的“倒均数”为2n+1，数列bn满足

A．17 B．19 C．163

2．（23-24高二下·江西抚州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,?.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”.记Sn为“斐波那契数列”an的前n项和，若S2023=a，

A．ba+1 B．b-1a+1

3．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列an满足a1=1,a2

A．a

B．a

C．3

D．a

4．（2024·广西南宁·一模）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推，若该数列的前n项和为Sn，若log2Sn∈Z,n∈N*，则称n,log

5．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）有无穷多个首项均为1的等比数列，记第n(n∈N*)个等比数列的第

(1)若a2(2)a

(2)若m为给定的值，且对任意n有am(n+1)=2am(

(3)若qn为等比数列，证明：a

6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）设集合M=aa=x2-y2,x∈Z

(1)已知在数列an中，a1=3，n+1an-nan

(2)已知bn=2n，判断bn

(3)已知数列cn为“平方差数列”，求证：cic

【类型2数列中的新运算问题】

7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在自然数范围内定义一种新的运算“*”，观察下列符号*的算式：3*2=3+4=7，2*4=2+3+4+5=14，7*3=7+8+9=24，...，“*”具有如上式子拥有的运算性质.若3*n=150，则n的值为（

A．13 B．14 C．15 D．16

8．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列an满足：a1=3,an

A．1 B．2 C．3 D．4

9．（23-24高二下·广东广州·期中）给定数列an，定义差分运算：Δan=an+1-an,Δ2

A．存在M0，使得Δ

B．b

C．对任意M0，总存在n∈

D．对任意M0，总存在n∈

10．（23-24高三上·山东·开学考试）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列an满足：a1=m（m为正整数），an+1=

11．（2024·湖北孝感·模拟预测）定义矩阵运算：abcdxy=ax+by

(1)证明：an，b

(2)求数列a2n+3b