第04讲 用空间向量研究直线平面的关系（4个知识点+5种题型+过关检测）解析版.docx

第04讲用空间向量研究直线平面的关系（4个知识点+5种题型+过关检测）

知识点1：用向量表示点、直线、平面的位置

一、空间中点的向量和直线的向量表示

1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，设P是直线l上任意一点，

(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).

(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).

2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．

注意点：

(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．

(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．

二、空间中平面的向量表示

1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.

2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．

3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．

注意点：

(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．

(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．

知识点2：平面的法向量及其应用

求平面法向量的方法与步骤

(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→)).

(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)．

(3)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解．

(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．

知识点3：空间中直线平面的平行

1.直线和直线平行

设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.

证明线线平行的两种思路：

(1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．

(2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示．

2.直线和平面平行

设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，则l∥α?u⊥n?u·n＝0.

注意点：

(1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．

(2)特别强调直线在平面外．

利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：

(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．

(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．

(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．

3.平面和平面平行

设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.

证明面面平行问题的方法

(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．

(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．

知识点4：空间中直线、平面的垂直

1.直线与直线垂直

设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.

注意点：

(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直．

(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.

证明两直线垂直的基本步骤：

建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求