《高等数学上》课件.pptVIP

*******************高等数学（上）本课件旨在帮助学生学习高等数学的基本概念和方法。涵盖了微积分、线性代数、概率论等重要内容。1.1函数及其图像函数是高等数学中的基础概念。函数图像可以帮助我们直观地理解函数的性质，例如单调性、奇偶性等。一对一函数与反函数一对一函数每个输入值对应唯一输出值，且每个输出值也只对应唯一输入值。例如，y=x^2不是一对一函数，因为输入值2和-2都有相同的输出值4。反函数如果函数f是一个一对一函数，则存在一个函数g使得f(g(x))=x且g(f(x))=x。反函数g用f^(-1)表示。反函数的图形反函数的图形与原函数的图形关于直线y=x对称。常见反函数指数函数与对数函数是反函数关系，三角函数与其反三角函数也是反函数关系。基本初等函数11.指数函数定义域为全体实数，值域为正实数。22.对数函数定义域为正实数，值域为全体实数。33.三角函数包括正弦函数，余弦函数，正切函数等。44.反三角函数是三角函数的反函数，如反正弦函数，反余弦函数。函数的基本性质单调性函数的单调性是指函数值随自变量变化而变化的趋势。如果函数在某个区间上，自变量增大时函数值也增大，则称该函数在这个区间上单调递增。如果函数在某个区间上，自变量增大时函数值减小，则称该函数在这个区间上单调递减。奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质。如果函数图像关于原点对称，则称该函数为奇函数。如果函数图像关于y轴对称，则称该函数为偶函数。复合函数与反函数复合函数复合函数将一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成新的函数关系。反函数反函数是原函数的逆运算，将原函数的输出作为输入，得到原函数的输入值。互为反函数两个函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。1.2极限与连续极限的概念是高等数学的基础，它描述了函数或数列在自变量趋于某个值时所趋近的值。连续性则是指函数在某个点附近保持平滑变化，没有突变或间断。数列极限的定义收敛当n趋于无穷大时，数列的项无限接近于某个常数，则称该数列收敛于该常数，称为数列的极限发散当n趋于无穷大时，数列的项无限接近于某个无穷大或不收敛，则称该数列发散ε-N定义对于任意小的正数ε，存在正整数N，当nN时，数列的项与极限的差的绝对值小于ε函数极限的定义无穷小当自变量趋近于某个值时，如果函数值趋近于零，则该函数称为无穷小.函数极限当自变量趋近于某个值时，如果函数值趋近于某个确定的值，则称该值为函数在该点处的极限.性质及计算极限的性质极限具有可加性、可乘性、可比性等性质。极限的计算常见的极限计算方法包括：利用极限的性质，利用洛必达法则，利用泰勒展开式等。图形理解可以通过图形直观地理解极限的概念和计算方法，有助于理解抽象的数学概念。连续函数的概念连续函数函数在某个点连续意味着函数在该点左右两侧的极限都存在且相等，并且等于该点的函数值。这意味着函数在该点的图形没有间断或跳跃，而是平滑地连接在一起。不连续函数不连续函数在某个点不满足连续函数的定义。这意味着函数在该点的图形存在间断或跳跃，函数值可能不等于左右两侧的极限。1.3导数与微分导数是微积分学中的核心概念之一，它反映了函数在某一点处的变化率，用于描述函数的瞬时变化趋势。微分是导数的另一种表示形式，它是函数在某一点处的线性逼近，用于近似地描述函数在该点附近的变化。导数的定义与意义11.定义导数反映了函数在某一点的变化率。22.几何意义导数代表曲线在该点切线的斜率。33.物理意义导数表示物体在该时刻的瞬时速度。44.应用导数应用于求函数极值、拐点、单调性等。求导法则基本求导公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等的求导公式。求导法则包括和差法则、乘积法则、商法则和链式法则等，用于计算复杂函数的导数。隐函数求导用于求解包含多个变量的方程的导数，需要应用链式法则和微分方程的知识。参数方程求导用于求解以参数形式表示的函数的导数，需要将参数方程转化为普通函数形式。高阶导数定义求导后得到的函数称为导数，再次对导数进行求导则得到二阶导数，以此类推，多次求导后的函数称为高阶导数。符号表示n次导数符号为f(n)(x)或y(n)，表示对函数f(x)或y进行n次求导。几何意义高阶导数反映了函数曲线在不同点的变化趋势，例如二阶导数表示曲线凹凸性，三阶导数表示曲线拐点。微分的概念与性质微分的定义微分是函数在某一点的变化量的线性近似。它是导