第07讲 基本不等式（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）（解析版）.docx

第07讲基本不等式

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．了解基本不等式的证明过程；

2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；

3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.

知识点1基本不等式

1、重要不等式

（1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立．

【说明】，当且仅当时，等号成立．

（2）常见变形：、、．

2、基本不等式

（1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立．

【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数．

因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

（2）常见变形：；

（3）常用结论：

=1\*GB3①（同号），当且仅当时取等号；

（异号），当且仅当时取等号．

=2\*GB3②（），当且仅当时取等号；

（），当且仅当时取等号；

知识点2最值定理

1、最值定理：已知都是正数，

（1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4)．

（2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2eq\r(p)．

最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．

2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．

①一正：各项均为正数；

②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．

知识点3基本不等式的变式与拓展

1、基本不等式链

或．

当且仅当时等号成立．

其中，为的调和平均值，为的平方平均值

2、基本不等式的拓展

（1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立．

（2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立．

考点一：对基本不等式的理解

例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（????）

A．x≥2y B．x2y C．x≤2y D．x2y

【答案】B

【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，

所以不等式成立的前提条件为，即.故选：B.

【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（????）

A．若，且，则

B．若，则

C．若，则

D．对任意，均成立.

【答案】A

【解析】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确.

B选项，当时，，所以B选项错误.

C选项，当时，，所以C选项错误.

D选项，当时，，不成立，所以D选项错误.故选：A

【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】对于A，当为负数时不成立，故A错误，

对于B，，则，故B正确，

对于C，，则都为正数，，

当且仅当，即时等号成立，故C正确，

对于D，，

当且仅当和同时成立，即时等号成立，故D正确，故选：BCD

【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（????）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】由题意可知，，

因为，，

则，所以，，即，所以；

在中，，即

当时，、点重合，，此时，

则，所以A正确；

对于C选项，在中，，则，

又因为，所以，，

可得，即，所以，

由于，所以，

当时，，此时，

综上，，所以C正确；

由于在该图中没有相应的线段与之对应，

故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：AC.

考点二：利用基本不等式比较大小

例2.（23-24高一上·甘肃会宁·期中）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】、为互不相等的正实数，则，

所以，，时，，

所以．故选：A．

【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，由基本不等式得，故，

因为，，

两式相减得，，

故，所以，故，

所以.故选：B

【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若，则，中不可能是最大值的是（????）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】由于