专题05 利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式证明（3大压轴考法）解析版.docx

专题05利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式证明

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲练 2

题型一、基本不等式证明 2

题型二、柯西不等式证明 8

题型三、权方和不等式 12

压轴能力测评（9题） 13

一、柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

2.二维形式的柯西不等式的变式

3.扩展：，当且仅当时，等号成立.

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.

二、权方和不等式

权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.

证明1：

要证

只需证

即证

故只要证

当且仅当时，等号成立

即，当且仅当时，等号成立.

证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．

推广1：当时，等号成立．

推广:2：若，则，当时，等号成立.

推广3：若，则，当时，等号成立.

【题型一基本不等式证明】

一、解答题

1．（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数.

(1)证明：；

(2)若，证明：.

(3)已知是正数，且，求证：．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）利用基本不等式证明不等式；

（2）应用“1”的代换，结合基本不等式证明不等式；

（3）由，应用基本不等式有，即可证结论.

【详解】（1）由，

当且仅当时等号成立，即，得证.

（2）由

，

当且仅当时等号成立，则，得证.

（3）由，

当且仅当时等号成立，不等式得证.

2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数.

(1)若，证明：；

(2)若，求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可；

（2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解.

【详解】（1）方法一:，且，，都是正数，

，当且仅当时取等号，

故.

方法二：，且，，都是正数，

所以

，当且仅当时取等号，

故.

（2）方法一:、都是正数，

当且仅当时取等号，

又，，所以，当且仅当时取等号，

，

，即，

，.

令，其中，

因为在上单调递减，

所以，所以的最小值为.

方法二:因为

都是正数，

，当且仅当，即时取等号，

又，

，当且仅当时取等号，

令，下面即要讨论函数，的最小值；

首先，讨论函数在上的单调性，

对，

有.

函数在上单调递减.

当，即时，取得最小值.

，当且仅当时取等号.

3．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：；

（2）已知，，，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论；

（2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论.

【详解】证明：（1）∵、都是正数，

∴，，，

∴，

当且仅当时，等号成立．

（2）∵，，，

∴，，，

∴，

故，当且仅当，

即时等号成立．

4．（2023·全国·模拟预测）已知，且．

(1)求证：；

(2)求的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过，，，三式相加，可得：

.

再根据，，∴，，且，可得结果.

（2）先用公式和把原式转化为：

，再用和进行消元，转化为的二次三项式，再用配方法可求最大值.

【详解】（1）因为，

所以，

以上三式相加得，

所以，当且仅当时取等号．

因为，且，所以，，所以，

所以．

故.

（2），

，

当且仅当，时取等号，

的最大值为．

【点睛】结论点睛：叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加．

5．（22-23高一上·天津·期中）已知，.

(1)求证：；

(2)求的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据综合法结合基本不等式即可证明；

（2）把化为，利用（1）的结论即可求得最值.

【详解】（1）因为，，所以，，

所以，

所以，且当且仅当时等号成立，得证.

（2），

因为，，所以，

所以由（1）知

，

当且仅当且时等号成立，即时等号成立.

所以的最大值为.

【点睛】易错点点睛：利用基本不等式解题的注意点：

（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立.

（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等.

（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.

【题型二柯西