专题07 一元二次方程根的分布问题（3大压轴考法）解析版.docx

专题07一元二次方程根的分布问题

注意：本节专题提前涉及到第三章的部分简单概念

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲练 4

题型一、一元二次方程根的零分布 4

题型二、一元二次方程根的k分布 8

题型三、一元二次方程根在区间上的分布 11

压轴能力测评（9题） 14

一、二次函数相关知识

对于形如的二次函数，有以下性质：

1、判别式：；求根公式：；

2、韦达定理：，；

3、二次函数对称轴，定点坐标（，）．

二、一元二次方程的根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.

1、方程有两个不等正根

2、方程有两个不等负根

3、方程有一正根和一负根，设两根为

三、一元二次方程根的k分布

分布情况

两根都小于即

两根都大于即

一根小于，一大于即

大致图象（a0）

得出的结论

大致图象（a0）

得出的结论

综合结论

（不讨论a）

四、一元二次方程根在区间的分布

根的分布

图像

限定条件

在区间内

没有实根

在区间内

有且只有一个实根

在区间内

有两个不等实根

【题型一一元二次方程根的零分布】

一、多选题

1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知关于的方程，则（????）.

A．当时，方程有两个不相等的实数根

B．方程无实数根的一个充分条件是

C．方程有两个不相等的负根的充要条件是

D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是

【答案】BC

【分析】对于A选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于B选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断；对于C,D选项：利用判别式以及韦达定理即可判断;

【详解】对于A选项：当时，，此时，

此时方程没有实数根，故A选项错误；

对于B选项：方程无实数根的充要条件是，即，

所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确；

对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是

解得：，故C选项正确;

对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是

解得：，故D选项错误;

故选：BC.

二、填空题

2．（23-24高一上·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是.

【答案】

【分析】利用判别式与韦达定理得到关于的不等式组，从而得解.

【详解】因为有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根，

所以，解得.

故答案为：.

三、解答题

3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程．

(1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围；

(2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，判别式即可求解；

（2）根据一元二次方程有互异实数根,根据韦达定理即可求解.

【详解】（1）已知关于的方程有实根，

∴，

整理得，∴或．

所以的取值范围为．

（2）∵，

∴无论为何值，关于的方程有两个不相等的实数根．

又根据韦达定理两根之积为，

故无论为何值，关于的方程有两个异号实数根．

4．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围．

【答案】

【分析】首先分和两种情况讨论，当时又分为方程有一正根一负根、有两个负实根两种情况，即可求解

【详解】①当时，解得，满足条件；

②当时，显然方程没有零根，由，得

设方程的两个实数根为

若方程有两异号实根，则，解得；

若方程有两个负的实根，则，解得．

综上，若方程至少有一个负的实根，则．

5．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式的解集为M.

(1)若，求k的取值范围；

(2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）分类讨论，结合二次函数性质可得；

（2）由一元二次不等式的解集结合一元二次方程根的分布可得.

【详解】（1）当时，或.

当时，恒成立；

当时，，解得，不恒成立，舍去.

当时，

解得或k-

综上可知，k的取值范围为或.

（2）由可得或k-1

因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，

所以关于x的方程有两个不相等的负根，

设为，，则，

解得，

综上可知，k的取值范围为.

6．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根．

(1)若两根同号，求实数的取值范围；

(2)求使得的值为整数的整数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）一元二次方程两个不相等的实数根．则，两根同号则，解不等式组可得；

（2）变形为，由韦达定理代入整理可得，由整数要求得，进而求解验证值可解