专题11 导数与不等式（含恒成立，能成立问题）（考点清单+知识导图+ 7个考点清单题型解读）（原卷版）.docx

清单11导数与不等式（含恒成立，能成立问题）

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．

③转化：，使得能成立；

，使得能成立．

④求最值.

【清单02】分类讨论法

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．

【清单03】等价转化法

①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

【清单04】最值定位法解决双参不等式问题

（1）,,使得成立

（2）,,使得成立

（3）,,使得成立

（4）,,使得成立

【清单05】值域法解决双参等式问题

,,使得成立

①，求出的值域，记为

②求出的值域，记为

③则,求出参数取值范围.

【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题

核心方法：变量分离

【例1】（24-25高三上·江西·期中）已知函数

(1)求函数图象上点到直线的最短距离；

(2)若函数与的图象存在公切线，求正实数a的最小值；

(3)若恒成立，求a的取值范围.

【变式1-1】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数，令，过点作曲线y=fx的切线，交轴于点，再过作曲线y=fx的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列

(1)证明：数列为等差数列；

(2)若数列的前项和为，求实数的值；

(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围.

.【变式1-2】（24-25高三上·天津河北·期中）已知函数在处取得极小值.

(1)求的值；

(2)求函数在点处的切线方程；

(3)若恒成立，求实数的取值范围.

【变式1-3】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设函数.

(1)若在处的切线方程为，求实数的取值；

(2)试讨论的单调性；

(3)对任意的，恒有成立，求实数a的取值范围.

【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题

核心方法：变量分离

【例2】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数.

(1)讨论在区间上的单调性；

(2)若时，不等式有解，求的取值范围.

【变式2-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．

【变式2-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数在处取得极值4．

(1)求a，b的值；

(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．

【变式2-3】（23-24高二下·江苏无锡）已知函数．

（1）若在点处的切线斜率为．

①求实数的值；

②求的单调区间和极值．

（2）若存在，使得成立，求的取值范围．

【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题

核心方法：分类讨论法

【例3】（2024·福建·三模）函数，其中为整数.

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)当x∈0,+∞时，

【变式3-1】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)若恒成立，求a的取值范围.

【变式3-2】（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数的导函数为，且．

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．

【变式3-3】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数．

(1)当时，试判断在上零点的个数，并说明理由；

(2)当时，恒成立，求的取值范围．

【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题

核心方法：分类讨论法

【例4】（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数．

(1)求证：；

(2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值；

(3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值．

【变式4-1】（2024·湖南娄底·一模）已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)求函数的单调区间；

(2)证明：；

(3)设，若存在实数使得，求的最大值.

【变式4-2】（23-24高三上·广西玉林·开学考试）已知函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：当时，，使得.

【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题

核心方法：最值定位法

【例5】（2024高二·全国·专题练习）已知函数．

(1)试讨论的极值；

(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．

【变式5-1】（2024高