线性代数特征值与特征向量.ppt

在数学和工程技术的许多领域，

如微分方程、运动稳定性、振

动、自动控制、多体系统动力

学、航空、航天等等，常常遇

到矩阵的相似对角化问题。而

解决这一问题的重要工具就是第五章特征值与特征向量

特征值与特征向量。为此，本

章从介绍特征值与特征向量的

概念和计算开始，进而讨论矩

阵与对角形矩阵相似的条件，

最后介绍相关的应用问题。

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§5.1特征值与特征向量

一.特征值与特征向量的定义和求法

定义5.1.1设A=[aij]是n阶方阵。

若存在数λ及非零列向量，

X=T

(x1,x2,,xn)

使得

AXX或IAX0

则称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A的属于

（或对应于）特征值λ的特征向量。

注意:1.只有方阵才有特征值与特征向量;

2.特征向量必须是非零向量，而特征

值不一定非零。

下面讨论特征值和特征向量的解法：

式子IAX0

可写成以下线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0

axaxax0

2112222nn

...................

an1xan2xannxn0

反之，如果有是的根，

方程组有非零解。

X0

I如果A是方程组的非零解，则有

是的根。

IA

T

Xx1,x2,xn

是A的特征值的特征向量，是A的

特征根。

定义5.1.2设A为n阶方阵，称IA为矩

阵A的特征矩阵，IA为矩阵A的特征多项式，

IA=0为矩阵A的特征方程，IAX0

为矩阵A的特征方程组。

综上，可得矩阵A的特征值与特征向量的求法：

（1)写出矩阵A的特征多项式IA，它的

全部根就是矩阵A的全部特征值;

(2)设1,2,,s是矩阵A的全部互异

的特征值.将的每个互异的特征值分别

Ai

代入特征方程组，得

iIAX0i1,2,,s

这就是特征值所对应的线性无关的特征向量。

Xi1,Xi2,,Xil

分别求出它们的基础解系i

i

ki1Xi1ki2Xi2kilXil

非零线性组合ii

i1,2,,s

Aii1,2,,s

是的属k于特征值

的全部特征向ij量，其中为任意

常数。

211



A431,



002

211解

|IA|431

0求A的0特征值2

与特征向量．

