专题12 导数与函数的零点（方程的根）（考点清单+知识导图+ 7个考点清单题型解读）（解析版）.docx

清单12导数与函数的零点（方程的根）

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】函数的零点

（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．

（2）三个等价关系

方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．

【清单02】函数零点的判定

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．

注意：单调性+存在零点=唯一零点

【考点题型一】判断函数零点（方程的根）的个数

【例1】（23-24高二下·江西景德镇·期末）已知函数.

(1)求的极值点；

(2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由.

【答案】(1)极大值点为1，无极小值点

(2)1个，理由见解析

【知识点】利用导数研究方程的根、求已知函数的极值点

【分析】（1）求出fx，利用f

（2）令，利用导数判断出在区间上的单调性，结合极值、端点值可得答案.

【详解】（1），

当时，fx0

∴fx在0,

∴fx的极大值点为

（2）方程在区间上只有1个解，理由如下：

令，

则，

当时，；当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

又，

在有一个零点，在无零点，

所以方程在区间上只有1个解.

【变式1-1】（23-24高二下·广西桂林·期末）已知函数．

(1)求的单调区间和极值；

(2)判断在1,

【答案】(1)增区间为，减区间为，极小值为，无极大值；

(2)函数在上有零点，理由见解析

【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点

【分析】（1）先确定函数的的定义域，再求导确定单调区间和极值；

（2）根据零点存在定理确定函数在上是否有零点.

【详解】（1）函数的定义域为0,+

，

令，得，的增区间为1,+∞

令，得，的减区间为0,

的极小值为，无极大值.

（2）在上有零点，

因为，，

所以，

由零点存在定理可知，函数在上有零点.

【变式1-2】（23-24高二下·河南郑州）已知函数.

(1)求的极值；

(2)判断在上的零点个数，并说明理由.

【答案】(1)有极大值，无极小值

(2)在上有两个零点，理由见解析

【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点

【分析】（1）先研究函数导数正负，进而得函数单调性即可求解函数极值.

（2）根据（1）得函数单调性，从而根据函数在上的单调性和最值以及端点值情况即可求解判断.

【详解】（1）由题，则恒成立，

所以fx在上单调递减，又

所以时，fx0；x

所以在上单调递增，在0,+

所以有极大值，无极小值.

（2）在上有两个零点，理由如下：

由（1）在上单调递增，在0,+

所以函数有最大值，

又，

故在上有两个零点.

【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性

【例2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数.

(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；

(2)当时，求证：在上有唯一零点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题

【分析】（1）根据题意转化为在上恒成立，然后转化为最值问题，求导即可得到结果；

（2）对函数求导构造新函数，通过导数确定单调性，进而确定在上存在唯一的零点，分情况讨论函数各区间零点个数，即可得解.

【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，

即.令，x0，

因为且，所以在上恒成立.

所以在上单调递增，所以，即.

（2）考虑，则.

因为，所以，所以在上单调递增，

所以，

即，①，所以，所以，即②.

令，则，

所以在上单调递增.

由①得，又，且的图象在上不间断，

所以在上存在唯一的零点，记为.

当时，，单调递减，又，所以在上恒成立，且；

当时，，单调递增，由②知

，

又，所以在上存在唯一的零点.

综上所述，函数在上有唯一零点.

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.

【变式2-1】（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)证明：函数存在唯一零点．

【答案】(1)的增区间为；

(2)详见解析.

【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用

【分析】（1）由题可得，然后利用导数研究函数的性质可得，进而即得；

（2）由题可得时，函数在上单调递增，结合零点存在定理可得函数存在唯一零点，时，利用导数研究函数的极值，结合函数的单调性进而即得.

【详解】（1）因为的定义域为，

所以，

设，则，

由，可得，由，可得，

所以在上单调递减，在上单调递